Viquillibres

Matemàtiques (nivell ESO)/Equacions de 1r grau: diferència entre les revisions

Exploració interactiva de l'historial
← Edició anteriorEdició següent →
Contingut suprimit Contingut afegit
VisualWikitext
Cap resum de modificació
Cap resum de modificació
Línia 14:
* <math>7-0,3t=2</math>
 
Notem que les variables poden tenir qualsevol nom i no ha de ser necessàriament <math>x</math>. A més, hi pot haver diverses variables sempre que els termes siguin de grau 1. L'elecció de la lletra per a cada incògnita se sol fer d'acord al context del problema.
 
Per extensió, una '''equació de primer grau''' també és qualsevol equació que es pugui transformar mitjançant manipulacions algebraiques en una equació de les que hem descrit abans. Entre aquestes altres equacions, n'hi ha [[../Equacions de primer grau que semblen de segon|algunes que semblen de segon grau]], però de fet també es poden reduir a una de primer grau.
 
[[Categoria:Matemàtiques (nivell ESO)]]
 
== Mètode de resolució ==
==Exemples==
 
El mètode de resolució consisteix a trobar equacions equivalents. És a dir, es parteix d'una equació i s'apliquen certes regles per transformar-la en una equació que tengui les mateixes solucions però que sigui d'alguna forma més simple, ja sigui perquè té menys termes, té menys parèntesis, s'han eliminat els denominadors, etc.
==Exercicis==
===Nivell 1===
 
Ho explicarem aquest procés de trobar equacions equivalents per ordre creixent de complexitat. D'aquesta forma s'exposarà en primer lloc els últims passos del procés fins arribar en darrer lloc als primers passos.
 
x+5=11
 
=== Cas 1: Les equacions més simples ===
===Nivell 2 (amb parèntesi)===
 
*<math> 2 \left( 3x - x \right) = 4 \left( 5 - 6x \right)</math>
La incògnita està només multiplicada o dividida per algun número. I l'altre membre té un únic terme amb un número. Per exemple:
*<math> 45 - 5 = 6 \left( 5 - x \right)</math>
 
*<math> 7 \left( 5 * 9 - 8 + x \right) = 45 \left( 5 + 8 + 7x \right)</math>
* <math>3x=20</math>
* <math>-8y=50</math>
* <math>2a=-18</math>
* <math>-6b=-8</math>
 
En aquest punt s'utilitza la regla de la multiplicació/divisió.
 
'''Exemple'''. L'equació <math>3x = 120</math> podria correspondre a un problema similar al següent:
 
Tres pesos iguals fan un total de 120 kg. Quant fa cada pes?
 
En aquest problema, resulta clar que cada pes hauria de fer 40 kg. El que s'ha fet és la divisió <math>120/3</math>
 
<div style="margin: 1em; padding: 1em; border: dotted 1pt gray; background-color: #EEFFCC;">
De forma general,
 
* Quan hi hagi un nombre multiplicant a la incògnita només a un dels membres, aquest número passa dividint a tot l'altre mebre.
* Quan hi hagi un nombre dividint a la incògnita només a un dels membres, aquest número passa multiplicant a tot l'altre membre.
</div>
 
Després d'haver fet aquest pas, cal simplificar fins a trobar un nombre enter o bé la fracció irreductible.
 
Exemples:
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 1|continguts=
L'equació <math>3x=20</math>
 
es converteix en
 
::<math>x=\dfrac{20}{3}</math>
 
No podem simplificar el resultat perquè ja és una fracció irreductible.
 
Queda el mateix resultat.
}}
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 2|continguts=
L'equació <math>-8y=50</math>
 
es converteix en
 
::<math>y=\dfrac{50}{-8}</math>
 
I deprés simplificam:
 
Queda
::<math>y=-\dfrac{25}{4}</math>
}}
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 3|continguts=
L'equació <math>2a=-18</math>
 
es converteix en
 
::<math>a=\dfrac{-18}{2}</math>
 
I després simplificam. Queda
::<math>a=-9</math>
}}
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 4|continguts=
L'equació <math>-6b=-8</math>
 
es converteix en
 
::<math>b=\dfrac{-8}{-6}</math>
 
I després passam al cas 1.
 
Queda
::<math>b=\dfrac{4}{3}</math>
}}
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 5|continguts=
L'equació <math>2x=8</math>
 
es converteix en
::<math>x=\dfrac{8}{2}</math>
 
Simplificam i obtenim:
::<math>x=4</math>
}}
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 6|continguts=
L'equació <math>12y=15</math>
 
es converteix en
::<math>y=\dfrac{15}{12}</math>
 
La simplificam
::<math>y=\dfrac{5}{4}</math>
}}
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 7|continguts=
L'equació <math>-2a=-8</math>
 
es converteix en
::<math>a=\dfrac{-8}{-2}</math>
 
Simplificam i obtenim
::<math>a=4</math>
}}
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 8|continguts=
L'equació <math>-21b = 15</math>
 
es converteix en
::<math>b=\dfrac{15}{-21}</math>
 
Simplificam i obtenim
::<math>b=-\dfrac{5}{7}</math>
}}
 
=== Cas 2: Equacions que tenen les incògnites al primer membre i els termes sense incògnita al segon membre ===
 
S'han de realitzar les sumes i restes d'un membre fins a obtenir un sol terme en aquest membre. I a continuació fer el mateix a l'altre membre. L'equació equivalent que obtenguem es podrà resoldre segons el cas 1.
 
Per exemple:
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 1|continguts=
L'equació
::<math>4x+8x-x = 9-4+1-7</math>
 
es converteix en
::<math>11x=-1</math>
 
I després aïllam i simplificam:
::<math>x=-\dfrac{1}{11}</math>
}}
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 2|continguts=
L'equació <math>-x+8x-12x+x=2-1-5</math>
 
es converteix en
::<math>-4x=-4</math>
 
I després aïllam i simplificam:
::<math>x=1</math>
}}
 
=== Cas 3: Equacions amb termes mesclats a cada membre ===
 
En aquest cas, hi ha termes amb la incògnita i termes sense la incògnita a un mateix membre. De vegades, també als dos membres.
 
El que farem serà traslladar els membres amb incògnita a un sol membre i els termes sense la incògnita a l'altre membre. Sovint les incògnites a l'esquerra. L'equació equivalent que obtenguem es podrà resoldre per mijtà del cas 2.
 
<div style="margin: 1em; padding: 1em; border: dotted 1pt gray; background-color: #EEFFCC;">
Les regles que s'usen per als trasllats són les següents:
 
* Un terme que està sumant a un membre pot passar a l'altre membre restant.
* Un terme que està restant a un membre pot passar a l'altre membre sumant.
 
Aquest procediment s'anomena '''transposició de termes'''
</div>
 
Mirau els vídeos per a les explicacions detallades.
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 1|continguts=
<math>3x+1-2x-3=5-6x</math>
}}
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 2|continguts=
<math>-7-2a+4a+2=5a-8+a</math>
}}
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 3|continguts=
<math>4x+3+2+x=25-2x+3x</math>
}}
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 4|continguts=
<math>7c+8-2c+2=-3c-8-c</math>
}}
 
Solucions:
* [https://www.youtube.com/watch?v=tGlBf2bEDqI Solucions als exemples 1 i 2. Durada 9'02"]
* [https://www.youtube.com/watch?v=5qc_82CFH4I Solucions als exemples 3 i 4. Durada 7'42"]
 
=== Cas 4: Multiplicació de números per diversos termes ===
 
L'equació conté algun parèntesi que engloba diversos termes no homogenis i està multiplicat per algun número. En aquest cas s'ha d'aplicar la propietat distributiva per desfer cada parètensi. En resultarà una equació equivalent que es podrà resoldre segons el cas 3.
 
Alguns exemples:
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 1|continguts=
<math>3-x=2(5x-1)</math>
}}
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 2|continguts=
<math>3(4x-3) = 5(5-x)</math>
}}
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 3|continguts=
<math>6(x+1) = 10(x-3)</math>
}}
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 4|continguts=
<math>6(x-3)-2(x-1)=10</math>
}}
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/ExempleEnColumna|titol=Exemple 5|continguts=
<math>2(x-2) = 60-3(1-x)</math>
}}
 
[https://www.youtube.com/watch?v=Q4-ShfsGnfw Solucions als exemples. Durada 15'09"]
 
== Importància del signe ==
 
De vegades hi ha un signe menys davant un parèntesi, com ara:
 
<math> -(3x-5) </math>
 
<math> 7-(6x-1) </math>
 
Un signe menys canvia el signe a tots els termes que hi hagi dins el parèntesi quan aplicam la propietat distributiva.
 
 
 
Tres exemples: quan només tenim expressions (no igualtats)
 
 
<table>
<tr>
<th style="border: solid 1pt black; padding: 1ex;">Exemples</th>
<th style="border: solid 1pt black; padding: 1ex;">Expressió</th>
<th style="border: solid 1pt black; padding: 1ex;">Com es desenvolupa</th>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; border: 1pt solid black; padding: 1ex;">1</td>
<td style="border: solid 1pt black; padding: 1ex;"><math> -(3x-5) </math></td>
<td style="border: solid 1pt black; padding: 1ex;"><math>-(3x-5) = -3x + 5 </math></td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; border: 1pt solid black; padding: 1ex;">2</td>
<td style="border: solid 1pt black; padding: 1ex;"><math>-(-7+2x) </math></td>
<td style="border: solid 1pt black; padding: 1ex;"><math>-(-7+2x) = 7x -2x </math></td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; border: 1pt solid black; padding: 1ex;">3</td>
<td style="border: solid 1pt black; padding: 1ex;"><math>-2(4-3x) </math></td>
<td style="border: solid 1pt black; padding: 1ex;"><math>-2(4-3x) = -8 + 6x </math></td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; border: 1pt solid black; padding: 1ex;">4</td>
<td style="border: solid 1pt black; padding: 1ex;"><math>-\dfrac{4-2x}{3} </math></td>
<td style="border: solid 1pt black; padding: 1ex;"><math>-\dfrac{4-2x}{3} = \dfrac{-4+2x}{3} = -\dfrac{4}{3}+\dfrac{2x}{3} </math></td>
</tr>
<tr>
<td style="text-align: center; border: 1pt solid black; padding: 1ex;">5</td>
<td style="border: solid 1pt black; padding: 1ex;"><math>-\dfrac{-x+1}{5} </math></td>
<td style="border: solid 1pt black; padding: 1ex;"><math>-\dfrac{-x+1}{5} = \dfrac{x-1}{5} = \dfrac{x}{5}-\dfrac{1}{5} </math></td>
</tr>
</table>
 
Exemples quan tenim canvis de signes dins una expressió.
 
Exemple: <math>7-(6x-1) = 1-4(6x-1) +2</math>
 
{{Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/Passos|
pas1=Eliminar parèntesis
|desc1=Aplicam la propietat distributiva a cada membre de l'equació:
 
<math>7-(6x-1) = 1-4(6x-1) +2</math>
 
<math>7-6x+1 = 1-24x+4+2</math>
 
Hem tengut en compte la regla dels signes de la multiplicació/divisió.
|pas2=Moure termes
|desc2=Es podria continuar resolent l'equació:
 
Passam els termes amb <math>x</math> al primer memebre i els termes sense lletra al segon membre.
 
<math>-6x+24x = -7-1+1+4+2</math>
|pas3=Sumes i restes
|desc3=Simplificam els termes semblants:
 
<math>18x=-1</math>
|pas4=Aïllar la incògnita
|desc4=El nombre que multiplica la <math>x</math> passa al segon membre dividint.
 
<math>x=\dfrac{-1}{18}</math>
}}
 
 
<table>
<tr>
<th style="border: solid 1pt black; padding: 1ex;">Exemples</th>
<th style="border: solid 1pt black; padding: 1ex;">Com es desenvolupa</th>
</tr>
<tr>
<td style="border: solid 1pt black; padding: 1ex; vertical-align: top;">
<p>Exemple 2</p>
<p style="text-align: center;"><math> 2x+(x-1)=1-(x-3) </math></p>
</td>
<td style="border: solid 1pt black; padding: 1ex; vertical-align: top;">
<p>Vegem com s'aplica la propietat distributiva per eliminar el parèntesi i com afecta al signe:</p>
<table style="width: 100%;">
<tr>
<td style="padding: 1ex; text-align: right;"><span style="font-size: 14px;"><math> 2x+(x-1) </math></span></td>
<td style="padding: 1ex; width: 1em; text-align: center;"><math>=</math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><span style="font-size: 14px;"><math> 1-(x-3) </math></span></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;">Enunciat</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding: 1ex; text-align: right;"><span style="font-size: 14px;"><math>2x+x-1</math> </span></td>
<td style="padding: 1ex; width: 1em; text-align: center;"><math>=</math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><math>1 -x + 3 </math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;">Hem aplicat la propietat distributiva</td>
</tr>
</table>
 
<p><span style="font-size: 14px;"><br></span></p>
<p><span style="font-size: 14px;">A continuació resolem l'equació.</span><br></p>
<table style="width: 100%;">
<tr>
<td style="padding: 1ex; text-align: right;"><span style="font-size: 14px;"><math>2x+x+x </math></span><br></td>
<td style="padding: 1ex; width: 1em; text-align: center;"><math>=</math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><span style="font-size: 14px;"><math> 1+1+4 </math></span><br></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><span style="font-size: 14px;">Hem passat termes amb x al primer membre i termes numèrics al segon membre</span><br></td>
</tr>
<tr>
<td style="padding: 1ex; text-align: right;"><span style="font-size: 14px;"><math>4x</math></span><br></td>
<td style="padding: 1ex; width: 1em; text-align: center;"><math>=</math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><math>6</math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;">Simplificació de termes (sumes i restes)</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding: 1ex; text-align: right;"><math> x </math></td>
<td style="padding: 1ex; width: 1em; text-align: center;"><math>=</math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><span style="font-size: 14px;"><math> \dfrac{6}{4} </math></span><br></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><span style="font-size: 14px;">Hem aïllat la x per trobar la solució</span><br></td>
</tr>
<tr>
<td style="padding: 1ex; text-align: right;"><math> x </math></td>
<td style="padding: 1ex; width: 1em; text-align: center;"><math>=</math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><span style="font-size: 14px;"><math> \dfrac{3}{2} </math></span><br></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><span style="font-size: 14px;">Simplificam la solució</span><br></td>
</tr>
</table>
<ul>
</ul>
<p></p>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border: solid 1pt black; padding: 1ex; vertical-align: top;">
<p>Exemple 3</p>
<p style="text-align: center;"><math> 1+\dfrac{2-x}{3}-\dfrac{x-3}{2} = \dfrac{x}{3}-\dfrac{4-x}{2} </math></p>
</td>
<td style="border: solid 1pt black; padding: 1ex; vertical-align: top;">
<p>Encara que no hi hagi cap parèntesi, cada numerador actua com un bloc i per tant es pressuposa que hi ha un parèntesi. El signe afecta a cada un dels termes dels numeradors.</p>
<table style="width: 100%;">
<tr>
<td style="padding: 1ex; text-align: right;"><math> 1+\dfrac{2-x}{3}-\dfrac{x-3}{2} </math></td>
<td style="padding: 1ex; width: 1em; text-align: center;"><math>=</math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><math> \dfrac{x}{3}-\dfrac{4-x}{2} </math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;">Enunciat</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding: 1ex; text-align: right;"><math> 1+\dfrac{2}{3}-\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2} </math></td>
<td style="padding: 1ex; width: 1em; text-align: center;"><math>=</math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><math> \dfrac{x}{3}-\dfrac{4}{2}+\dfrac{x}{2} </math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;">Separam en fraccions que tenen un sol terme als numeradors. Observem hi ha dos signes <math>-</math> que han passat a <math>+</math></td>
</tr>
</table>
 
<p><span style="font-size: 14px;"><br></span></p>
<p><span style="font-size: 14px;">A continuació resolem l'equació.</span><br></p>
<table style="width: 100%;">
<tr>
<td style="padding: 1ex; text-align: right;"><span style="font-size: 14px;"><math> \dfrac{6\cdot 1}{1}+\dfrac{6\cdot 2}{3}-\dfrac{6x}{3}-\dfrac{6x}{2}+\dfrac{6\cdot 3}{2} </math></span><br></td>
<td style="padding: 1ex; width: 1em; text-align: center;"><math>=</math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><span style="font-size: 14px;"><math> \dfrac{6x}{3}-\dfrac{6\cdot 4}{2}+\dfrac{6x}{2} </math></span><br></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><span style="font-size: 14px;">Multiplicam cada fracció pel denominador comú, 6. De fet aplicam novament la propietat distributiva.</span><br></td>
</tr>
<tr>
<td style="padding: 1ex; text-align: right;"><span style="font-size: 14px;"><math>6+4-2x-3x+9</math></span><br></td>
<td style="padding: 1ex; width: 1em; text-align: center;"><math>=</math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><math>2x-12+3x</math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;">Hem simplificat les operacions de cada fracció</td>
</tr>
<tr>
<td style="padding: 1ex; text-align: right;"><math> -2x-3x-2x-3x </math></td>
<td style="padding: 1ex; width: 1em; text-align: center;"><math>=</math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><span style="font-size: 14px;"><math> -6-4-9-12 </math></span><br></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><span style="font-size: 14px;">Hem aïllat la x per trobar la solució</span><br></td>
</tr>
<tr>
<td style="padding: 1ex; text-align: right;"><math> -10x </math></td>
<td style="padding: 1ex; width: 1em; text-align: center;"><math>=</math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><span style="font-size: 14px;"><math> -31 </math></span><br></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><span style="font-size: 14px;">Simplificam els termes (sumes i restes)</span><br></td>
</tr>
<tr>
<td style="padding: 1ex; text-align: right;"><math> x </math></td>
<td style="padding: 1ex; width: 1em; text-align: center;"><math>=</math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><span style="font-size: 14px;"><math> \dfrac{-31}{-10} </math></span><br></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><span style="font-size: 14px;">Aïllam la <math>x</math></span><br></td>
</tr>
<tr>
<td style="padding: 1ex; text-align: right;"><math> x </math></td>
<td style="padding: 1ex; width: 1em; text-align: center;"><math>=</math></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><span style="font-size: 14px;"><math> \dfrac{31}{10} </math></span><br></td>
<td style="padding: 1ex; text-align: left;"><span style="font-size: 14px;">Simplificam els signes</span><br></td>
</tr>
</table>
<ul>
</ul>
<p></p>
</td>
</tr>
</table>
 
== Resolució de problemes ==
 
Per a resoldre un problema mitjançant una equació, s'han de traduir al llenguatge algèbric les condicions de l'enunciat, i després resoldre l'equació plantejada.
 
Comença per llegir atentament l'enunciat, fins que estiguis segur de que comprens bé el que s'ha de calcular i les dades que et proporcionen.
 
Un cop l'equació està resolta, s'obté la solució del problema.
 
[[Categoria:Matemàtiques (nivell ESO)]]
Obtingut de «https://ca.wikibooks.org/wiki/Matemàtiques_(nivell_ESO)/Equacions_de_1r_grau»