Matemàtiques (nivell ESO)/Variancia i desviació típica

Variància mostral

Dins de l'estadística descriptiva, la variància mostral s'utilitza com mesura de dispersió, i la seva definició és:

$s^{2}(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}{n}}$

Mètode abreujat:

$s^{2}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}$

Desviació estàndard mostral

Suposem que $x_{1}\ldots x_{n}$ són els valors observats de la variable aleatòria X. La fórmula més comú per a calcular la desviació estàndard mostral és:

$S={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {X}})^{2}}}$

on ${\bar {X}}$ és la mitjana mostral. Aquest estimador de $\sigma$ és no esbiaixat, és a dir, l'esperança matemàtica de S és $\sigma$.

Una altra fórmula emprada amb menys freqüència ve donada per l'estimador màxim-versemblant de $\sigma$:

$S={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {X}})^{2}}}$.

És immediat demostrar que el valor esperat d'aquest altre estimador és ${\sqrt {\frac {n-1}{n}}}\sigma$, i que per tant és esbiaixat. Encara que aquesta fórmula és correcta, en la pràctica interessa realitzar inferències poblacionals, de manera que en el denominador en lloc de n, es fa servir n-1 (Correcció de Bessel).

També hi ha una altra funció més senzilla de realitzar i amb menys risc de tenir equivocacions:

$s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n{\overline {x}}^{2}}{n-1}}$

Qüestions de llengua

És freqüent confondre les paraules "variància" i "variança". Una cerca als diccionaris de català ens revela que la forma correcta és la primera. Així cal dir variància, amb l'accent sobre la "a" perquè és una paraula esdrúixola (car el grup "ia" no forma diftong en català).