Matemàtiques (nivell ESO)/Aproximació i error

Aproximacions:

En operar amb nombres reals, de vegades trobem decimals amb moltes xifres i, per facilitar la feina, els podem expressar de forma aproximada.

Una aproximació o valor aproximat d'un nombre és un altre nombre pròxim al primer, al qual representa i substitueix.

Podem fer l'aproximació d'un nombre per defecte, si el valor aproximat és més petit que el nombre, o per excés, si el valor aproximat és més gran que el nombre.

Hi ha dues maneres d'aproximar nombres: l'arrodoniment i el truncament

Arrodoniment:

Ens hem de fixar en la primera xifra que volem eliminar. -Si és més gran o igual que cinc-> Sumem a la xifra anterior. -Si és més petita que cinc-> Deixem igual la xifra anterior. Aquestes són les regles que ens donen les pautes per saber aproximar els nombres decimals. Per aproximar els nombres naturals, seguim les mateixes normes. Aquestes normes són útils sempre que els nombres que hàgim d'aproximar no tinguin un context. Si tenen un context hem d'aplicar el sentit comú per saber com arrodonir els números si per excés o per defecte. -Arrodoniment per excés: 6,70-> 7 -Arrodoniment per defecte: 2,70-> 2 Segons la situació que ens trobem, tindrà més sentit per excés o per defecte.

Truncament:

El truncament és la reducció del número de dígits a la dreta del punt decimal, descartant els menys significatius.

Per exemple, donats el número real: 56.239 Per truncar aquest número a dígits decimals, solament considerem els 4 dígits a la dreta de la coma decimal.

El resultat és: a les unitats de miler: 56.000 a les desenes : 56.230

Fixeu-vos que en alguns casos, el truncament donarà el mateix resultat que l'arrodoniment, però el truncament no arrodoneix cap amunt ni cap abaix els dígits, senzillament els talla en el dígit especificat. L'error de truncament pot ser fins al doble de l'error màxim que es pot tenir usant l'arrodoniment.

Errors:

Sempre que substituïm el valor exacte d'una quantitat per un valor aproximat cometem un error. Hi ha tres tipus d'errors:

• Error absolut: La diferencia, en valor absolut, entre el valor exacte i el valor aproximat.

Error absolut = valor aproximat - valor exacte

Exemple: en l'aproximació 2.5 de ---> 2.467 l'error absolut és: |2.5-2.467| = 0.033 no es veritable

• Error relatiu

• Error percentual o tant per cent d'error

COTA D'ERROR Anomenem cota d'error l'error màxim possible d'una aproximació.

Relació entre aproximacions i errors:

De les dues maneres d'aproximar un nombre, la que menys error produeix és l'aproximació per arrodoniment.

• En addicions i subtraccions, el resultat final té la mateixa quantitat de dígits decimals que el factor amb menor quantitat de dígits decimals. Per exemple:

$4.35x0.868+0.6=5.818=5.8$

• A les multiplicacions, divisions i potències, el resultat final tindrà el mateix número de xifres significatives que el factor que menys xifres significatives tingui. Per exemple:

$8425x22.3=187.8775=188$