Matemàtiques (nivell ESO)/Identitats notables

Es defineix com a identitat aquella igualtat entre dues expressions matemàtiques que es compleix per a qualsevol valor de les seves variables. S'anomenen identitats notables aquelles identitats àmpliament utilitzades per operar. La seva aplicació ens permet un estalvi de temps quan es realitzen algunes operacions.

Les identitats notables que ens interessen són:

$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\$
$(a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\$
$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\$

Demostració geomètrica

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

Demostració analítica

Les identitats notables més freqüents i més fàcils d'obtenir analíticament, són el quadrat i el cub d'una suma i una diferència i el producte d'una suma per una diferència, que tot seguit es demostren alguna cosa que no sabem:

$(a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^{2}+2ab+b^{2}$

$(a-b)^{2}=(a-b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=a^{2}-2ab+b^{2}$

$(a+b)\cdot (a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^{2}-b^{2}$

${\begin{aligned}&(a+b)^{3}=(a+b)^{2}\cdot (a+b)=(a^{2}+2ab+b^{2})\cdot (a+b)=a^{2}\cdot a+a^{2}\cdot b+2ab\cdot a+2ab\cdot b+b^{2}\cdot a+b^{2}\cdot b=\\&=a^{3}+a^{2}b+2a^{2}b+2ab^{2}+b^{2}a+b^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&(a-b)^{3}=(a-b)^{2}\cdot (a-b)=(a^{2}-2ab+b^{2})\cdot (a-b)=a^{2}\cdot a-a^{2}\cdot b-2ab\cdot a-2ab\cdot \left(-b\right)+b^{2}\cdot a+b^{2}\cdot \left(-b\right)=\\&=a^{3}-a^{2}b-2a^{2}b+2ab^{2}+b^{2}a-^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\\\end{aligned}}$