Matemàtiques (nivell ESO)/Nombre de solucions

Prepara't

Quan resolem les equacions de segon grau següents:

• $x^{2}+1=0$ no té solució (la suma de dos números positius no pot donar zero)
• $x^{2}=0$ té solució $x=0$
• $x^{2}-4=0$ té solucions $x=2$ i $x=-2$

Amb la qual cosa observam que les equacions de segon grau poden tenir 0, 1 o 2 solucions. En principi hauríem d'investigar un poc més per adonar-nos que no en poden tenir més.

Alguns fets

Una equació de segon grau només pot tenir 0, 1 o 2 solucions.

El nombre de solucions depèn del signe del discriminant. Així:

• Si és positiu, resultaran dues solucions
• Si és zero, resultarà una solució
• Si és negatiu, l'equació no tendrà solució

Exemples

Equació	Discriminant	Solucions
$x^{2}+1=0$	$0^{2}-4*1*1$ que és negatiu	No té solucions
$x^{2}-2x+1=0$	$(-2)^{2}-4*1*1$ que és zero	Una: $x=1$
$x^{2}-4=0$	$0^{2}-4*1*(-4)$ que és positiu	Dues: $x=2$ i $x=-2$

Per què?

Si tenguessis més de 2 solucions per a una equació de segon grau, posem que fossin a, b, c..., aleshores el polinomi $(x-a)(x-b)(x-c)...$ format a partir de totes les solucions hauria de ser el mateix que el polinomi de l'equació, excepte possiblement multiplicar-lo per un número. Però aquest polinomi té grau més gran que 2 i per tant no pot ser igual al de l'equació. Això significa que no podem tenir més de 2 solucions.

Fonament matemàtic

Un teorema d'àlgebra ens diu que un polinomi de grau n només pot tenir com a molt n arrels. En particular, el polinomi d'una equació de segon grau només pot tenir 2 arrels, és a dir, només hi pot haver 2 solucions per a l'equació.