Matemàtiques (nivell ESO)/Nombre de solucions

Prepara'tModifica

Quan resolem les equacions de segon grau següents:

  •   no té solució (la suma de dos números positius no pot donar zero)
  •   té solució  
  •   té solucions   i  

Amb la qual cosa observam que les equacions de segon grau poden tenir 0, 1 o 2 solucions. En principi hauríem d'investigar un poc més per adonar-nos que no en poden tenir més.

Alguns fetsModifica

Una equació de segon grau només pot tenir 0, 1 o 2 solucions.

El nombre de solucions depèn del signe del discriminant. Així:

  • Si és positiu, resultaran dues solucions
  • Si és zero, resultarà una solució
  • Si és negatiu, l'equació no tendrà solució


ExemplesModifica

Equació Discriminant Solucions
    que és negatiu No té solucions
    que és zero Una:  
    que és positiu Dues:   i  

Per què?Modifica

Si tenguessis més de 2 solucions per a una equació de segon grau, posem que fossin a, b, c..., aleshores el polinomi   format a partir de totes les solucions hauria de ser el mateix que el polinomi de l'equació, excepte possiblement multiplicar-lo per un número. Però aquest polinomi té grau més gran que 2 i per tant no pot ser igual al de l'equació. Això significa que no podem tenir més de 2 solucions.

Fonament matemàticModifica

Un teorema d'àlgebra ens diu que un polinomi de grau n només pot tenir com a molt n arrels. En particular, el polinomi d'una equació de segon grau només pot tenir 2 arrels, és a dir, només hi pot haver 2 solucions per a l'equació.