Matemàtiques (nivell ESO)/Operacions amb arrels

Suma i resta

Per sumar radicands, han de ser semblants, és a dir, han de tenir el mateix índex i el mateix radicand.

Se sumen els coeficients i es deixen el mateix índex i el mateix radicand.

$a{\sqrt[{n}]{c}}+b{\sqrt[{n}]{c}}=(a+b){\sqrt[{n}]{c}}$

Quan no són semblants, abans cal extreure factors del radicand perquè ho siguin:

Exemple:

 ${\sqrt {18}}+{\sqrt {50}}+{\sqrt {2}}-{\sqrt {8}}={\sqrt {2\cdot 3^{2}}}+{\sqrt {2\cdot 5^{2}}}+{\sqrt {2}}-{\sqrt {2^{3}}}=3{\sqrt {2}}+5{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}-2{\sqrt {2}}=7{\sqrt {2}}$

Multiplicació de radicands

Quan no tenen el mateix índex, cal reduir-los a índex comú. Això s'aconsegueix fent el MCM dels índexs:

 ${\sqrt[{3}]{2}}\cdot {\sqrt[{5}]{5}}={\sqrt[{15}]{2^{5}}}\cdot {\sqrt[{15}]{5^{3}}}={\sqrt[{15}]{2^{5}\cdot 5^{3}}}$

Divisió de radicands

Per dividir dos radicands, han de tenir el mateix índex. Es deixa el mateix índex i es divideixen els radicands.

${\sqrt[{n}]{a}}\div {\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a\div b}}$

${\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\sqrt[{10}]{\frac {16^{2}}{2^{5}}}}={\sqrt[{10}]{2^{8}\div 2^{5}}}={\sqrt[{10}]{2^{3}}}$

Si no tenen el mateix índex, abans s'ha de reduir al mateix índex. Per exemple calculant el MCM.

Exemples:

 ${\frac {\sqrt[{5}]{16}}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt[{10}]{16^{2}}}{\sqrt[{10}]{2^{5}}}}$

Arrel d'arrel amb els radicals multiplicant

Quan no hi ha res entre les arrels que estan multiplicant:

Es multipliquen els índexs i es deixa el mateix radicand.

${\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{n\cdot m}]{a}}$

Quan hi ha alguna cosa entre les arrels que estan multiplicant:

S'introdueixen els factors dins l'arrel més interior i després es procedeix com al cas anterior:

${\sqrt[{n}]{a{\sqrt[{m}]{b}}}}={\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a^{m}\cdot b}}}={\sqrt[{n\cdot m}]{a^{m}\cdot b}}$

Arrel d'arrel amb els radicals sumant

Es calculen les arrels començant per la més interior i acabant amb la més exterior.

Exemple:

 ${\sqrt {14+{\sqrt {1+{\sqrt {9}}}}}}={\sqrt {14+{\sqrt {1+3}}}}={\sqrt {14+2}}=4$