Matemàtiques (nivell ESO)/Plans de simetria

SimetriaModifica

Els políedres més estudiats són els que presenten moltes simetries. Una simetria d'un poliedre és una isometria de l'espai que transforma el políedre si mateix. Les simetries d'un políedre formen un grup, anomenat grup de simetria.

Tipus de simetriaModifica

 
Simetries del tetraedre: la rotació al voltant d'un eix o la reflexió respecte d'un pla.

Hi ha dues classes d'isometries en l'espai euclidià tridimensional: les que preserven l'orientació de l'espai (és a dir, transformen una mà dreta en una mà dreta) i les que a la inverteixen (transformen una mà dreta en una ma esquerra). La mateixa classificació es fa en les simetries d'un políedre.

  • Simetria d'un políedre que preserva l'orientació ha de ser necessàriament una rotació al voltant d'un eix. Aquest eix és un eix de simetria de rotació.
  • Una simetria que no conserva l'orientació pot ser:

Per exemple, un tetraedre té 7 eixos de simetria: quatre pels vèrtex i tres per cada parell d'arestes oposades (veure la figura). Així mateix té 6 plans de simetria (un per a cada aresta). Les simetries són, però, en realitat 24. De les quals 12 mantenen l'orientació i són: l'identitat, 2 de rotacions al voltant de qualsevol eix del primer tipus (de 120° i 240°) i rotació de 180° al voltant d'un eix del segon tipus (és a dir,  ). També hi ha 12 simetries que no mantenen l'orientació: 6 són reflexions respecte del pla com a la figura, i altres 6 són composicions de reflexos i rotacions.

Plans, eixos i centre de simetriaModifica

Els plans i els eixos de simetria són el resultat de la presència de simetries de reflexió i de rotació. La intersecció de tots els eixos i tots els plans de simetria pot ser un pla, una recta, un punt, o buida. La intersecció pot estar buida només si no existeixen simetries. Si la intersecció és un punt, d'aquest punt se'n diu centre del políedre. Si la intersecció és una recta, aquesta és l' eix del políedre.

Per exemple, el tetraedre i el cub tenen un centre. Una piràmide de base quadrada no té un centre. Però té un eix.

QuiralitatModifica

 
El cub xato és quiral; és a dir, no és equivalent...
 
...a la seva imatge especular.

Un políedre és quiral si no és equivalent a la seva imatge especular. Més concretament, un políedre és quiral si totes les seves simetries són rotacions: no hi ha cap simetria que inverteixi l'orientació. Més concretament, un políedre quiral es comporta com una mà: es presenta en dues formes (una "esquerra" i una "dreta") que són un mirall l'una de l'altra.

RegularitatModifica

Una simetria mou un vèrtex cap a un vèrtex, que pot ser el mateix o diferent del de partida. De la mateixa manera, mou una aresta cap a una aresta, i una cara cap a una cara. La simetria determina llavors una permutació dels vèrtex, les arestes i les cares.

 
El dodecàedre ròmbic és regular respecte de les arestes i les cares, però no h és respecte dels vèrtex: en alguns hi incideixen tres arestes i en altres quatre.

Les simetries d'un políedre indueixen una relació d'equivalència en el conjunt dels seus vèrtexs (i de manera similar al conjunt de les arestes i de les cares): Dos vèrtex (o arestes o cares) són equivalents si existeix una simetria que mou de la primera a la segona.

Dos vèrtexs (o arestes o cares) equivalents han de tenir necessàriament el mateix aspecte: per exemple, dos vèrtex equivalents han de tenir el mateix nombre d'arestes incidents, dues arestes la mateixa longitud i el mateix angle diedre i dues cares equivalents han de ser congruents. Totes aquestes condicions necessàries en general no són suficients: hi pot haver cares congruents i no equivalents, arestes de la mateixa longitud i amb el mateix angle diedre no equivalents, i així successivament.

Si els vèrtexs d'un políedre són tots equivalents, es diu que el políedre és 'regular respecte dels vèrtex. De la mateixa manera, si totes les arestes són equivalents o totes les cares, es diu que és regular respecte de les arestes o les cares. Els termes homogeni i transitiu es poden fer servir com a sinònim de regular.

Un políedre que és regular respecte dels vèrtex, les arestes i les cares es diu que és regular. Només hi ha 5 políedres simples regulars: són els sòlids platònics.