Matemàtiques (nivell ESO)/Poliedres

Alguns políedres Dodecaedre (Políedre platònic) Petit dodecaedre estelat (Políedre de Kepler-Poinsot) Icosidodecàedre (Políedre arquimedià) Prisma estelat (Políedre uniforme estelat) Triacontàedre ròmbic (Políedre de Catalan) Hebesfenomegacorona (Políedre de Johnson)

Un políedre és un cos geométric la superfície del qual es compon d'una quantitat finita de polígons plans. Els seus elements notables són: cara o faceta que és la porció de pla que limita el cos; aresta on es troben dues cares i vèrtex on es troben tres o més arestes. Encara que sempre s'ha concebut el políedre com un cos de 3 dimensions, també hi ha semblants topològics en qualsevol dimensió; per exemple el polígon és el semblant topològic de dues dimensións del políedre. Totes aquestes formes són conegudes com a politops.

La paraula políedre deriva del grec πολύεδρον (πολύς, polys = "molts" i ἔδρον, édron = "cara"). Molts objectes microscòpics naturals (molècules, protozous, virus, etc.) tenen forma o simetria polièdrica. Els cristalls es poden presentar d'aquesta forma fins i tot a nivell microscòpic.

Políedres al món real

Naturals

Minerals

Cubs de pirita

Molts minerals cristal·litzen en una forma que correspon a un políedre. La pirita es pot presentar en tres modes de cristalització diferents: amb cristalls cúbics, octaèdrics o en forma d'un dodecàedre no regular (anomenat pentadodecaedre o piritoedre). Però cap Mineral no té la forma d'un icosaedre ni d'un dodecàedre regular.

Cub

Octaedre

Dodecaedre

La leucita pot adoptar la forma d'un icositetràedre trapezoïdal (un sòlid de Johnson). El pyrop pot adoptar la forma d'un dodecàedre ròmbic (un políedre de catalan) i l'aragonita la forma d'un prisma hexagonal.

icositetràedre trapezoïdal

Dodecàedre ròmbic

Prisma hexagonal

Radiolaris

Molts organismes miscroscopics tenen formes o simetries polièdriques. Entre ells, el radiolari pot adoptar la forma d'un icosàedre regular o d'una geoda. En forma de geoda, es pot comprovar una de les conseqüències de la relació d'Euler descrita més amunt: no es pot construir un sòlid en el que les arestes incidents a cada vèrtex siguin tres i en el que les cares siguin totes hexagonals. A la figura, de fet hi ha presents alguns pentàgons. La geometria regular dels esquelets d'aquests microorganismes han fascinat fins a finals del segle XIX molts naturalistes, entre ells Ernst Haeckel i Thompson D'Arcy, que també han cercat una interpretació integrada entre la biologia i la geometria sobre la importància d'aquestes estructures:

Icosaedre

Geoda

Artificials

Piràmides

El sòlid artificial més antic del que s'ha seguit la pista és segurament la piràmide.

Piràmides d'Egipte

Piràmide del Museu del Louvre

Daus

El dau clàssic de joc té la forma d'un cub. Alguns jocs de rol però fan servir els 5 sòlids platònics: la regularitat dels sòlids de fet s'assegura que cadascuna de les cares té la mateixa probabilitat de sortir després d'un llançament

Els sòlids platònics i dos trapezoedres emprats com a daus.

Per mantenir la mateixa probabilitat n'hi ha prou que el sòlid sigui regular respecte de les cares, per aquesta raó també es fan servir trapezoedres. Per exemple, els dos trapezoedres amb 10 cares com es mostra a la figura emprats de manera simultània permeten sortejar un nombre del 0 al 99.

Cúpules geodèsiques

Una cúpula geodèsica és un sòlid amb moltes cares, la forma del qual e´s molt similar a la d'una esfera (o a una part d'aquesta). Igual com s'ha comentat pels radiolaris més amunt, en les cúpules geodèsiques és fàcil verificar els efectes de la relació d'Euler.

Walt Disney World Resort

Montreal

Museu Dalí de Figueres

Vegeu també

• Políedre regular
• Polígon
• Politop
• Grup de simetria
• Desenvolupament pla d'un políedre
• Angle diedre

Enllaços externs

• Viatge geomètric a l'espai
• Políedres arquimedians
• Virtual Polyhedra (anglès) Lloc web dedicat als políedres amb àmplia bibliografia.
• The puzzling world of polyhedral disections (anglès) Llibre dedicat als trencaclosques tridimensionals.
• Guy's polyhedra pages (anglès) Lloc web orientat a la recerca actuals sobre els políedres.
• Stella (anglès) Programa dedicat a visualitzar políedres.
• The Uniform Polyhedra (anglès) Lloc web dedicat als políedres uniformes.
• Paper Models of Polyhedra (anglès) Desenvolupament dels políedres en format PDF imprimible.
• Interactive 3D polyhedra (anglès) Visualitzacions virtuals amb arrossegament en Java.
• Polyèdres (francès) Visualitzacions tridimensionals amb arrossegament.
• Polygones, polyèdres et polytopes (francès) Informacions mètriques detallades sobre molts políedres.
• Polyedergarten (alemany)(anglès)(francès) Models de paper.