Matemàtiques (nivell ESO)/Proporcionalitat directa

Introducció

Els conceptes aquí presents s'apliquen només a magnituds mesurables, com ara

 SÍ: altura d'una persona, massa d'un objecte, força aplicada, preu d'una compra, etc.
 NO: la bondat d'una persona, els colors de l'arc iris, el gust per una cosa agradable, etc.

Es diu que dues magnituds són directament proporcionals si quan la primera magnitud augmenta un cert nombre de vegades la segona també augmenta el mateix nombre de vegades, i al contrari, si la primera disminueix la segona també. Exemples:

• Si augmentam els quilos de taronges, augmenta el seu preu en la mateixa proporció.
• Si disminuïm els quilos de pomes, disminueixen els quilos en la mateixa proporció.

La proporcionalitat és un dels escassos conceptes matemàtics àmpliament difós en la població. Això es deu al fet que és en bona mesura intuïtiu i d'ús molt comú.

Exemple

La recepta d'un pastís indica que per a quatre persones es necessiten 200 grams de farina, 150 de mantega, quatre ous i 120 grams de sucre. Com adaptar la recepta per a cinc persones?

Segons diversos estudis, la majoria de la gent calcularia les quantitats per a una persona (dividint per quatre) i després les multiplicaria pel nombre real de persones, cinc. Una minoria no sent la necessitat de passar per les quantitats unitàries (és a dir per persona) i multiplicaria els nombres de la recepta per 5/4 = 1,25 (el que equival a afegir una quarta part als valors inicials). El pastís amb cinc ous, 400 grams de farina; 187,5 grams de mantega i 150 de sucre tindrà el mateix sabor que l'altre, si el cuiner aficionat es mostra tan bo com el xef que va escriure la recepta.

Primer exemple de proporcionalitat

Es diu que la quantitat de cada ingredient és proporcional al nombre de persones, i es representa aquesta situació mitjançant una taula de proporcionalitat.

Definició formal

Més generalment, es diu que els nombres $y_{1},y_{2}...y_{n}\$ (a l'exemple, la segona línea de la taula) són proporcionals a $x_{1},x_{2}...x_{n}\$ si existeix un coeficient k no nul ($5 \over 4$ a l'exemple) tal que :

$y_{1}=k\cdot x_{1},y_{2}=k\cdot x_{2}\quad ...\quad y_{n}=k\cdot x_{n}\$

Variables proporcionals relacionades per una funció lineal

Si es consideren $x_{1},x_{2}...x_{n}\$ e $y_{1},y_{2}...y_{n}\$ com a valors de variables $x\$ e $y\$, llavors es diu que aquestas variables són proporcionals; la igualtat y = k·x significa que y és una funció lineal de x.

La representació gràfica d'aquesta funció és una recta que pasa per l'origen del sistema de coordenades. Una variació (increment o decrement) de x produeix una variació proporcional de y (i recíprocament, donat que k≠0: y = 1/k · x):

$\Delta y=k\cdot \Delta x\$

Són les funcions més senzilles que existeixen i les primeres que s'estudien a classe de matemàtiques.

Propietats

La relació «Ser proporcional a» és

• Reflexiva (tota variable és proporcional a si mateixa, amb el coeficient 1)

• Simètrica (quan i és proporcional a x llavors x ho és a i, amb el coeficient invers)

• Transitiva (si x és proporcional a i, i i a z, llavors x ho és amb z, multiplicant els coeficients)

per tant, es tracta d'una relació d'equivalència. En particular, dues variables proporcionals a una tercera seran proporcionals entre elles.

La taula del primer exemple es pot descompondre en tres de format dos per dos:

Tres taules de proporcionalitat 2x2

per tant les propietats de la proporcionalitat s'il·lustren preferentment amb taules de quatre caselles.

Tres maneres de veure la proporcionalitat

Una proporció està formada pels nombres a, b, c i d, si la raó entre a i b és la mateixa que entre c i d.

Una proporció està formada per dues raons iguals:

a : b = c : d.

On a, b, c i d són distints de zero i es llegeix a és a b com c és a d .

Proporció múltiple:

Una sèrie de raons està formada per tres o més raons iguals:

a : b = c : d = e : f

I es pot expressar com una proporció múltiple:

a : c : e = b : d : f

En la proporció hi ha quatre termes; a i d es diuen extrems; c i b es diuen mitjos.

En tota proporció el producte dels extrems és igual al producte dels mitjans.

Per a establir que una taula és proporcional, es pot:

1. Verificar que la segona columna és múltiple de la primera, (primera taula: per a passar de la primera casella a la segona, cal multiplicar per $b \over a$; en la segona línia s'ha de multiplicar per $d \over c$, per tant aquestes fraccions han de ser iguals per a obtenir columnes proporcionals)
2. Verificar que la segona línea és múltiple de la primera (segona taula, amb un raciocini semblant) o
3. Verificar la igualtat dels productes creuats: a·d = b·c. (tercera taula: les igualtats anteriors equivalen a a·d = b·c, quan no hi ha valors nuls, que per cert no tenen gran interès en aquest context).

Segon exemple

Dos paletes construïxen un mur de dotze metres de superfície en tres hores;  Quina superfície construiran cinc paletes en quatre hores ?

Hi ha dos paràmetres que influïxen en la superfície construïda: El nombre de paletes i el temps de treball. No cal resistir a la temptació d'aplicar dues vegades la proporcionalitat, però això sí, explicitant les hipòtesis subjacents.

Afirmar que el treball realitzat és proporcional al nombre de paletes equival a dir que tots els obrers tenen la mateixa eficàcia al treball (són intercanviables); i afirmar que la superfície és proporcional al temps de treball suposa que el rendiment no canvia amb el temps: els paletes no es cansen.

Proporcionalitat multiple

Admetent aquestes dues hipòtesis, es pot contestar a la pregunta passant per una etapa intermèdia: Quina superfície construirien dos paletes en quatre hores?

El paràmetre "nombre de paletes" té un valor fix, després s'aplica la proporcionalitat amb el temps (subtaula vermella). La superfície construïda serà multiplicada per $4 \over 3$.

Després, fixant el paràmetre temps a quatre hores, i variant el del nombre d'obrers de 2 a 5, la superfície serà multiplicada per $5 \over 2$ (la subtaula blava és proporcional).

El resultat final és

$12\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {5}{2}}=40$

metres cuadrats.

La proporcionalitat múltiple es resol així, multiplicant pels coeficients corresponents a cada factor:

Cas general de proporcionalitat múltiple