Matemàtiques (nivell ESO)/Teorema de Pitàgores. Aplicacions

El teorema de Pitàgores estableix que en un triangle rectangle la suma dels quadrats dels catets (els costats que formen l'angle recte) és igual al quadrat de la hipotenusa (l'altre costat).

Expressat matemàticament: a² + b² = c²

Significat del teorema

El teorema té dues parts:

• Per una banda, si el triangle és rectangle, la igualtat es compleix.
• Per l'altra, si la igualtat es compleix, aleshores el triangle és rectangle.

Activitat explicativa 1 (castellà)

Activitat explicativa 2

Demostració de Pappus

• Vídeo: Demostració
• Geogebra: Demostració

Altres demostracions del teorema

• Demostració visual (a+b)(a+b) Xina E
• Demostracions visuals

Història

El teorema de Pitàgores va ser conegut per moltes cultures anteriors o, en tot cas, sense la influència de Pitàgores.

Existeix una tauleta d'argila coneguda com a "Plimpton 322" i datada aproximadament del 1200 a.c. de l'època Babilònica. La tauleta conté 4 columnes amb números escrits amb escriptura cuneïforme. Al principi, es creia que es tractava d'una simple transacció comercial, però O. Neugebauer i A. Sachs van publicar al 1945, una transcripció, on en una de les interpretacions que feien d'aquesta tauleta, era que complien els terns pitagòrics (amb algun error de transcripció).

També se sap per les seves construccions que els egipcis utilitzaven el teorema de Pitàgores per fer triangles rectangles amb nombres naturals, i també per construir geomètricament nombres irracionals com el nombre d'or o arrels de nombres naturals.

Més endavant, per l'any 300 a.C.en la Proposició 47, del llibre I, dels Elements d'Euclides, apareix el teorema de Pitàgores, amb la segona demostració. No se sap qui va realitzar aquesta demostració, ja que Euclides es va dedicar a recollir tota la matemàtica de l'època i perfeccionar-la, sense deixar-se cap fissura, amb la finalitat de tenir tota la matemàtica existent en l'univers, tancada dins d'una sola obra.

Aplicacions

1. Trobar el costat desconegut d'un triangle rectangle coneixent els altres dos.
2. Identificar triangles rectangles.
3. Resoldre polígons que es poden dividir en triangles rectangles.
4. Representar gràficament nombres irracionals

Enllaços

• Desmotració del teorema de Pitàgores
• Aplicacions del teorema de Pitàgores