Matemàtiques (nivell ESO)/Translacions. Translacions successives.

Una translació de vector ${\vec {u}}$ és una transformació que, a cada punt M, li associa un altre punt M' que compleix el següent:

${\overrightarrow {MM'}}={\vec {u}}$

Llavors es diu que M’ és la translació de M.

En geometria plana i en geometria de l'espai, una translació es tradueix per un desplaçament de tota la figura sense canvi de l'orientació ni de les longituds.

Construir la imatge d'una figura per una translació significa fer-la relliscar en una direcció, en un sentit i una distància donada.

Propietats

Tal lliscament no comporta deformació ni canvi d'orientació, per tant:

• En una translació, les longituds, el parallèlisme, la perpendicularitat i de forma més general els angles es conserven.
• Una translació transforma una recta en una recta paral·lela a l'original.
• Per una translació, una figura geomètrica es transforma en una figura geomètrica semblant.

Per construir la imatge d'una figura geomètrica, només cal construir la imatge dels seus punts característics: per a un segment, els seus extrems, per a un triangle, els seus tres vèrtex, per a un cercle, el seu centre i el seu radi, etcètera.

• La translació és l'única transformació que deixa invariants els vectors, és a dir tal que

${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {A'B'}}$

• La composició de dues translacions de vectors ${\vec {u}}$ i ${\vec {v}}$ és una translació de vector ${\vec {u}}+{\vec {v}}$.
• La translació de vector nul és la identitat.

Elements invariants

• Tota recta paral·lela al vector de translació roman invariant després d'aplicar la transformació.

Activitats

• Translació i vector de translació