Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/ESPA/Matemàtiques/Matemàtiques 2.1/Unitat 1/Operacions aritmètiques amb fraccions

Suma

La suma de dues fraccions es defineix amb la següent igualtat:

$\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$

Però hi ha una forma alternativa i intuïtiva de fer la suma:

• Si dues fraccions tenen el mateix denominador (això vol dir que la unitat s'ha partit en el mateix nombre de parts iguals), aleshores la forma natural de sumar-les (de trobar una fracció que representi una quantitat equivalent a la unió de les quantitats que representaven cada una de les fraccions que es vol sumar) és sumant els numeradors i mantenint el mateix denominador.
• En cas de fraccions amb diferent denominador, qualsevol mètode que permeti trobar fraccions equivalents a les originals però que tinguin el mateix denominador permetrà aplicar el criteri que s'ha explicat abans per a fraccions amb el mateix denominador.

Una forma de trobar el denominador comú és calcular el mínim comú múltiple.

Exemple

$\displaystyle {\frac {2}{7}}+{\frac {3}{5}}={\frac {2\times 5+7\times 3}{7\times 5}}={\frac {10+21}{35}}={\frac {31}{35}}$

Multiplicació

La multiplicació es defineix com:

$\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$

Exemple

$\displaystyle {\frac {2}{5}}\cdot {\frac {3}{7}}={\frac {2\cdot 3}{5\cdot 7}}={\frac {6}{35}}$

Resta

L'element oposat d'una fracció es defineix com:

$\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}$

Llavors es defineix la resta de forma habitual com la suma amb l'element oposat:

$\displaystyle {\frac {a}{b}}-\left({\frac {c}{d}}\right)={\frac {a}{b}}+{\frac {-c}{d}}={\frac {ad-cb}{bd}}$

Exemple

$\displaystyle {\frac {7}{3}}-{\frac {6}{5}}={\frac {7\times 5-6\times 3}{3\times 5}}={\frac {35-18}{15}}={\frac {17}{15}}$

Divisió

L'element invers es defineix com:

$\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}{\mbox{ si }}a\neq 0$

Aleshores la divisió es defineix com:

$\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}$

Exemple

$\displaystyle {\frac {7}{3}}\div {\frac {6}{5}}={\frac {7\times 5}{3\times 6}}={\frac {35}{18}}$

Trobar la fracció irreductible

Si en una fracció es divideix el numerador i el denominador per un mateix nombre la fracció que en resulta és equivalent a la inicial.

Per tant si es divideix el numerador i el denominador de forma que el resultat no tinguin cap divisor comú s'haurà trobat la fracció irreductible. Llavors el problema de trobar la fracció irreductible es resol fent els passos següents:

1. Trobar el màxim comú divisor entre el numerador a i el denominador b.
2. Dividir a i b entre el Mcd que s'ha trobat i s'obtenen nous resultats a' i b' .
3. La fracció irreductible és la que té per numerador a' i denominador b' .

Si es treballa amb fraccions irreductibles, després de cada operació és convenient trobar la fracció irreductible del resultat perquè no sempre el resultat d'una operació amb fraccions irreductibles és una fracció irreductible. Per exemple 1/2 + 1/2 = 2/2 que és reductible a 1.

Operacions combinades

https://www.youtube.com/watch?v=aVSIgoYhbs4

https://www.youtube.com/watch?v=2K3ZlaE0k04&feature=youtu.be

https://www.youtube.com/watch?v=KDDcZCvgx5k

https://www.youtube.com/watch?v=ehOjwMfdvIs