Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/ESPA/Matemàtiques/Matemàtiques 2.1/Unitat 2/Igualtats i solucions

Incògnites i equacions

Seguint el primer enigma de la introducció, podem posar una lletra a cada dibuix.

A la primera fila, si deim $x$ al nombre que hi ha amagat darrere el moix, aleshores la relació completa es pot escriure de la forma següent:

$x+4\cdot x-2\cdot x=15$

En general, cada multiplicació entre un número i una lletra (i també entre lletres) no s'indica. Per tant, la relació s'escriu:

$x+4x-2x=15$

Aquesta és una igualtat entre dos membres, que seria tot allò que hi ha a cada costat del símbol d'igual. El primer membre és el membre del costat esquerre i el segon membre, el del costat dret.

La lletra s'anomena incògnita i representa un nombre desconegut i que cal descobrir. Els subgrups d'operacions formats per un nombre i una lletra o bé un nombre tot sol o una lletra tota sola s'anomenen termes. I com hem dit, se sobreentén que hi ha una multiplicació oculta. Els termes que només tenen una lletra se sobreentén que tenen un $1$ ocult que els multiplica.

Resoldre i solucions

Quan es resol la fila mentalment, no costa veure que $5$ és el valor que hauria de prendre el moix, és a dir, la $x$. Aquest valor es pot substituir a l'equació anterior $x+4x-2x=15$ i obtenim:

$5+4\cdot 5-2\cdot 5=5$

Observem que quan feim la substitució sí que cal indicar la multiplicació.

Si feim els càlculs del primer membre, donen el mateix resultat que en el segon. En aquest cas deim que es compleix l'equació i també que $x=5$ és una solució de l'equació.

El procés de cercar la solució s'anomena resoldre l'equació. A l'exemple el procés ha estat intuïtiu, però hi ha unes regles molt ben establertes per resoldre les equacions més essencials.

Identitats i equacions

Una igualtat algebraica està formada per dues expressions algebraiques separades per un signe igual $(=)$.

Pot passar que quan la incògnita prengui un valor concret, la igualtat es complesqui o no es complesqui.

• Quan la igualtat es compleix per a qualsevol nombre, deim que la igualtat és una identitat.
• Quan la igualtat es compleix no es compleix per algun o alguns nombres, deim que la igualtat és una equació.

Alguns exemples:

• $x+x+x=3x$ és una identitat. (És la definició de la multiplicació per 3)
• $x\cdot x\cdot x=x^{3}$ és una identitat. (És la definició de potència al cub)
• $4(x+2)=4x+8$ és una identitat. (És la propietat distributiva)
• $x+5=12$ és una equació. (Només té solució 7)
• $6x+1=13$ és una equació. (Només té solució 2)

Per a una igualtat arbitrària qualsevol, és difícil saber si es tractarà d'una identitat o una equació.

Equacions compatibles o incompatibles

Les equacions que treballarem són les de primer grau i es diuen així perquè les lletres no estan multiplicades per cap altra lletra, és a dir, tots els termes tenen exponent 1.

Quan resolem una equació de primer grau, ens podem trobar amb les situacions següents:

• L'equació té una única solució. L'equació es diu compatible.
• L'equació no té solució. L'equació es diu incompatible.
• L'equació té infinites solucions. En aquest cas, tots els nombres són solució. Aleshores no és apropiat dir-li equació, sinó que en realitat la igualtat és una identitat.

Exemples

Expressió	Què és?	Per què?
$x+x=2x$	Identitat	Es compleix per a qualsevol valor numèric de la $x$. Així tenim que: Si $x=0$ aleshores és cert que $0+0=2\cdot 0$ Si $x=3$ aleshores és cert que $3+3=2\cdot 3$ Si $x=-1$ aleshores és cert que $(-1)+(-1)=2\cdot (-1)$ I en general es compliria per a qualsevol número natural, enter, decimal, fraccionari, racional o irracional.
$7+x=21$	Equació	Es compleix només per alguns valors de la $x$. Així tenim que: Si $x=14$ aleshores és cert que $7+14=21$ Però per altres valors, per exemple si $x=0$ aleshores és compleix el contrari, que $7+0\neq 21$ De fet hi ha altres valors de $x$ per als quals la igualtat és falsa.
$2\cdot (1+x)=2+2x$	Identitat	Es compleix per a tots els valors de $x$. Per exemple: Si $x=0$ aleshores $2\cdot (1+0)=2+2\cdot 0$ i cada costat val igual, $2$ Si $x=3$ aleshores $2\cdot (1+3)=2+2\cdot 3$ i cada costat val igual, $8$ Si $x=-2$ aleshores $2\cdot (1+(-2))=2+2\cdot (-2)$ i cada costat val igual, $-2$ En general qualsevol altre valor que agafem farà que la igualtat es complesqui.
$2x+1=11$	Equació	Només es compleix per a $x=5$. Si $x=5$ aleshores es compleix que $2\cdot 5+1=11$ Però si $x=0$ aleshores no es compleix, $2\cdot 0+1\neq 11$

Resum de regles

Dues o més equacions que tenen les mateixes solucions s'anomenen equivalents.

Per a obtenir una equació equivalent a una donada s’utilitzen les regles següents.

Si sumam o restam als dos membres d’una equació la mateixa expressió algebraica, s’obté una equació equivalent a la donada. Si multiplicam o dividim els dos membres d’una equació la mateixa expressió algebraica, s’obté una equació equivalent a la donada.