Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/ESPA/Matemàtiques/Matemàtiques 2.1/Unitat 4/Funcions afins

Definició

Una funció afí és una funció de variable real que té la forma

$f(x)=mx+n$

o també $y=mx+n$

on $m$ i $n$ són dos nombres reals.

La gràfica de totes aquestes funcions és una recta. Aleshores:

• $m$ és el pendent
• $n$ és l'ordenada a l'origen

Exemple

La funció $f(x)=2x+3$ és a afí.

Construïm una taula de valors:

x	y=2x+3
0	$y=2\cdot 0+3=3$
1	$y=2\cdot 1+3=5$
2	$y=2\cdot 2+3=7$
3	$y=2\cdot 3+3=9$
-1	$y=2\cdot (-1)+3=1$
-2	$y=2\cdot (-2)+3=-1$
-3	$y=2\cdot (-3)+3=-3$
-4	$y=2\cdot (-4)+3=-5$

Aquesta taula de valors es representa sobre uns eixos de coordenades i es traça una línia recta que passi per tots ells. Si algun dels punts queda fora de la recta, s'hauran de revisar els càlculs.

Propietats

A partir d'una funció amb equació $y=mx+n$, descobriu quines són les seves propietats.

Propietat 1

La representació gràfica d'aquesta funció és...

Solució 

una recta

Propietat 2

Si $m>0$ aleshores la recta és...

Solució 

creixent

Propietat 3

Si $m<0$ aleshores la recta és...

Solució 

decreixent

Propietat 4

Si $m=0$ aleshores la recta és...

Solució 

horitzontal

Propietat 5

Si $m$ no apareix aleshores la recta és...

Solució 

horitzontal

Propietat 6

La recta talla l'eix OY amb coordenades...

Solució 

$(0,n)$

Exemples

Exemple 1

La funció

$f(x)=2x+3$

correspon gràficament a una recta que té pendent 2 i ordenada a l'origen 3

Exemple 2

La funció

$f(x)=4x$

correspon gràficament a una recta que té pendent 4 i ordenada a l'origen 0.

Exemple 3

La funció

$f(x)=-4x+1$

correspon gràficament a una recta que té pendent -4 i ordenada a l'origen 1.

Exemple 4

La funció

$f(x)=-2,5x$

correspon gràficament a una recta que té pendent -2,5 i ordenada a l'origen 0.

Exemple 5

La funció

$f(x)=7$

correspon gràficament a una recta que té pendent 0 i ordenada a l'origen 7.

Com determinar l'equació d'una recta

A partir d'una recta dibuixada o bé alguns elements seus, l'objectiu és escriure una equació de la forma següent:

$y=mx+n$

la representació gràfica de la qual complesqui les condicions donades inicialment.

Es tracta d'aprofitar les condicions per substituir els valors desconeguts i resoldre les noves equacions que puguin aparéixer.

Hi ha dues formes de determinar l'equació d'una recta: de forma algebraica i de forma gràfica.

Forma gràfica

Trobar l'equació d'una recta gràficament

Forma algebraica

Exemple 1. Dos punts

Quina és l'equació de la recta que passa per $(2,3)$ i $(4,9)$?

Substituïm a l'equació $y=mx+n$

Primera substitució:

• $x\to 2$
• $y\to 3$
• Per tant, $3=2m+n$

Segona substitució:

• $x\to 4$
• $y\to 9$
• Per tant, $9=4m+n$

El conjunt

$\left\lbrace {\begin{array}{rcl}3&=&2m+n\\9&=&4m+n\end{array}}\right.$

és un sistema d'equacions. El resolem per reducció:

$6=2m$

i obtenim $m=6/2=3$

A partir de la primera equació $3=2m+n$ obtenim $3=2\cdot 3+n$

Aïllant $n=-3$

Per tant, l'equació de la recta és $y=3x-3$

Exemple 2. Punt i pendent

Quina és l'equació de la recta que passa pel punt $(1,3)$ amb pendent $-2$

A l'equació $y=mx+n$ substituïm tots els valors excepte $n$:

• $x\to 1$
• $y\to 3$
• $m\to -2$

Obtenim $3=-2\cdot 1+n$ i aïllant $n=5$

Per tant, l'equació és $y=-2x+5$

Exemple 3. Ens donen punt i ordenada a l'origen

Quina és l'equació de la recta que passa pels punts $(-3,-4)$ i ordenada a l'origen $-6$?

Substituïm a l'equació $y=mx+n$

• $x\to -3$
• $y\to -4$
• $n\to -6$

I obtenim:

$-4=-3m-6$

La resolem i obtenim $m=-{\dfrac {2}{3}}$

Per tant, l'equació de la recta és $y=-{\dfrac {2}{3}}x-6$

Exemple 4. Ens donen la recta dibuixada

Si proporcionen la recta dibuixada sobre uns eixos de coordenades, es localitzen dos punts arbitraris de la recta. Usualment:

• Un dels punts sobre l'eix OY, per obtenir directament l'ordenada a l'origen.
• L'altre punt amb coordenades coincidents a la graella cartesiana.

A continuació, s'aplica algun dels procediments anteriors per trobar l'equació de la recta.