Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/ESPA/Matemàtiques/Matemàtiques 2.2/Unitat 1. L'equació de segon grau/Equacions de segon grau

Definició

Una equació de segon grau, anomenada també equació quadràtica, és una equació polinòmica on el grau més alt dels diversos termes que la integren és 2.

L'expressió general i més simple d'una equació de segon grau és:

$ax^{2}+bx+c=0$

on $a,b,c$ són nombres reals qualssevol amb la condició que $a\neq 0$.

Algunes qüestions a tenir en compte

Per què un coeficient és distint de zero?

El coeficient de $x^{2}$ no pot esser zero perquè l'equació es convertiria en una de primer grau.

Per què l'expressió s'iguala a zero?

Depèn de cada problema en particular. Per exemple:

• Si calculam altures amb un llançament parabòlic a partir del temps $x$, el fet que el resultat sigui zero pot indicar el moment inicial del llançament i el moment d'arribada al terra.
• En una construcció descrita per una corba parabòlica en què l'altura depèn de la distància x a un centre, el fet que el resultat sigui zero ens pot donar la posició dels pilars.
• Quan determinam la representació gràfica d'una paràbola a partir dels seus elements característics, el fet que el resultat doni zero ens indica els punts on la gràfica talla l'eix horitzontal.
• No sempre els problemes exigiran una condició d'igualtat amb zero, sinó amb un altre valor distint. En aquests casos, l'equació es pot reconvertir en una altra que tengui la igualtat amb zero.

Les equacions de segon grau sempre tenen els signes positius?

No, de fet és habitual trobar coeficients negatius per a qualsevol de les tres lletres $a,b,c$. Però s'escriu l'expressió general amb sumes, donant a entendre que també s'admeten coeficients negatius.

Solucions d'una equació de segon grau

Les solucions d'una equació de segon grau $ax^{2}+bx+c=0$ han de ser nombres reals que substituïts al lloc de les $x$ fan que el resultat efectivament sigui zero.

De forma equivalent,

Si $p$ és una solució de l'equació, aleshores es compleix que el valor numèric quan $x=p$ és zero.

El nombre de solucions d'una equació de segon grau pot ser com a molt de 2 solucions. Després veurem per què.

Exemples

1. A l'equació $x^{2}+2x=0$, el nombre $x=-2$ és solució perquè el valor numèric $(-2)^{2}+2(-2)=0$ s'anul·la.
2. A l'equació $x^{2}-9=0$, el nombre $x=3$ és solució perquè el valor numèric $3^{2}-9=0$ s'anul·la.
3. A l'equació $x^{2}+1=0$, el nombre $x=-1$ no és solució perquè el valor numèric $(-1)^{2}+1=2$ no s'anul·la.

Mètode de resolució

L'objectiu d'aquest apartat és donar un mètode per trobar totes les solucions d'una equació de segon grau.

Suposarem equacions de segon grau amb la forma següent: $ax^{2}+bx+c=0$, on $a\neq 0$

Aquestes equacions es resolen mitjançant la fórmula:

$x_{1,2}={\dfrac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

que proporciona les dues possibles solucions que té.

Exemple

En el vídeo següent es resol l'equació $x^{2}+3x-70=0$ amb aquesta fórmula.

Resolem l'equació $x^{2}+3x-70=0$

Les solucions són $x=7$ i $x=-10$.

Algunes consideracions per als càlculs

En general, els resultats s'han d'expressar al més simplificats possible. En particular també quan aplicam la fórmula per resoldre una equació de segon grau.

En el càlcul de l'arrel quadrada, poden passar dues coses:

• Que no existesqui l'arrel quadrada (la calculadora ens dona un error). En aquest cas, escriurem que l'equació no té solució.
• Que l'arrel quadrada ens doni un nombre decimal. En aquest cas, convé arrodonir de forma convenient per evitar un resultat final molt diferent de la solució. Una forma adequada seria arrodonir al doble de xifres decimals de les que es demanin per al resultat final. Per exemple, si es demanen 3 decimals, arrodonir l'arrel a 6 xifres decimals.

Molt de compte amb el següent:

• Els coeficients són només els nombres amb el seu signe (no incorporen lletres).
• Calcular un quadrat no és calcular el doble. $3^{2}\neq 6$
• La prioritat de les operacions quan calculam el discriminant.$16-4\cdot 2\neq 24$
• No repetir l'arrel quadrada quan ja ha estat calculada.
• Tenir en compte els dos signes de l'arrel quadrada.

Número de solucions

Mirau el vídeo següent:

Número de solucions d'una equació de segon grau

En els tres exemples del vídeo es comprova el número de solucions.

En general, per comprovar si les solucions són reals o no existeixen, es pot fer observant el discriminant de l'equació, que correspon al terme dins l'arrel quadrada:

$b^{2}-4ac$

Aquesta expressió s'expressa amb la lletra $D$ (la d majúscula)

Segons el signe d'aquest discriminant es poden donar 3 casos:

• Si $D$ és positiu, les dues solucions són reals i diferents.
• Si $D$ és zero, l'equació té una sola solució real (doble), que ve donada per $x=-{\dfrac {b}{2a}}$
• Si $D$ és negatiu, no existeixen solucions en els nombres reals.

Per tant, una equació de segon grau només pot tenir 2, 1 o cap solució.

Les fórmules de Viète

Vegem una propietat interessant de les solucions d'una equació de segon grau a partir d'un exemple.

Motivació

L'equació $x^{2}+3x-70=0$ té solucions $x=7$ i $x=-10$, com ja hem vist a l'apartat anterior.

Ara fixem-nos que aquestes solucions compleixen dues propietats:

• Si les multiplicam, el resultat és $7\cdot (-10)=-70$ i coincideix amb el terme independent (el que no té lletra).
• Si les sumam, el resultat és $7+(-10)=-3$ i coincideix amb el coeficient del terme amb $x$ però canviat de signe.

Aquests dos fenòmens en realitat succeeixen sempre, sigui quina sigui l'equació de la qual partim, però amb la condició que el terme $x^{2}$ tengui coeficient 1 (o que aquest no sigui visible perquè no s'ha escrit).

Per a casos més generals existeixen les fórmules de Viète.

Un mètode alternatiu

Les fórmules de Viète donen una relació senzilla entre les arrels d'un polinomi i els seus coeficients. En el cas del polinomi de segon grau, adopten la següent forma:

$\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b}{a}}$

i

$\displaystyle x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}$

Exemple

Quines són les solucions de l'equació $2x^{2}-16x+30=0$?

En el vídeo es resol l'equació amb les fórmules de Viète.

Resolem l'equació $2x^{2}-16x+30=0$ amb les fórmules de Viète

Per tant, les solucions són 3 i 5.

Equacions desordenades

En ocasions, l'equació no està a punt per aplicar la fórmula. Poden estar els termes desordenats i fins i tot haver-hi diversos termes del mateix grau. Aleshores què feim per poder aplicar la fórmula general? La resposta en aquest vídeo.

Resolució d'equacions desordenades