Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/ESPA/Matemàtiques/Matemàtiques 2.2/Unitat 1. L'equació de segon grau/Equacions de segon grau avançades

Identitats notables

Les identitats notables són equivalències entre productes freqüents de termes i el seu desenvolupament. Les que ens interessen són les següents:

• $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
• $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
• $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

En el vídeo següent es demostren cada una i se'n posen exemples:

Demostració de les identitats notables i exemples

Com es resol una equació de segon grau amb parèntesis

Cas 1: equació factoritzada

Com es resol l'equació?

$2x(x+3)(2x-5)=0$

Resolem l'equació $2x(x+3)(2x-5)=0$

Cas 2: equació amb un sol parèntesi al quadrat

Com es resol l'equació?

$(x-8)^{2}=25$

Com es resol?

 Enunciat

 Pas 1

 Pas 2

 Solucions

Resolguem l'equació

$(x-8)^{2}=25$

Partim de l'equació inicial

$(x-8)^{2}=25$

Aplicam l'arrel quadrada a cada costat de la igualtat:

${\sqrt {(x-8)^{2}}}=\pm {\sqrt {25}}$

Com que l'arrel quadrada de nombres positius admet dues respostes de signe oposat, cal indicar el signe $\pm$. Basta posar el símbol a una de les arrels per no repetir casos. Nosaltres l'hem escrit només davant l'arrel que du un únic número perquè sigui més fàcil calcular.

A continuació calculam cada arrel. Al primer membre en realitat simplificam l'arrel amb el quadrat i apareix el parèntesi, que de fet tampoc no és necessari perquè no hi ha més operacions.

$(x-8)=\pm 5$

$x-8=\pm 5$

Desfeim l'equació $x-8=\pm 5$ en dues i les resolem:

Primera	Segona
$x-8=+5$	$x-8=-5$
Les resolem com a equacions de primer grau
$x=8+5=13$	$x=8-5=3$

Les solucions de l'equació $(x-8)^{2}=25$ són 3 i 13.

Altres exemples que es poden resoldre de la mateixa forma:

• $(1-x)^{2}=25$. Solucions: 6, -4
• $(x-5)^{2}=-3$. No té solució
• $(x+3)^{2}=64$. Solucions: 5, -11

Cas 3: equació amb un sol parèntesi

Com es resol l'equació següent?

$x(x-3)=8x-10$

Explicació en el vídeo:

Resolem l'equació $x(x-3)=8x-10$

Cas 4: equació amb dos o més parèntesis

Com es resol l'equació?

$(x+3)^{2}+(x-7)^{2}=120$

Resolem l'equació $(x+3)^{2}+(x-7)^{2}=120$

Cas 5: equació amb dos o més parèntesis i signe negatiu

Com es resol l'equació?

$(x+3)^{2}=120-(x-7)^{2}$

Exemples

Recurs 1

Com es resolen les equacions següents?

1. $2x^{2}-18=0$
2. $2x^{2}+18=0$
3. $2x^{2}-7x-15=0$
4. $-6x^{2}+6x=0$
5. $(2x-3)(3x+8)=0$

Solució 

Per al desenvolupament, mirau el vídeo. Solucions: $\pm 3$ (dues solucions) No té solució. $5$ i $-{\dfrac {3}{2}}$ $0$ i $1$ ${\dfrac {3}{2}}$ i $-{\dfrac {8}{3}}$

Recurs 2

Com es resolen les equacions següents?

1. $5x(x+2)+6=3$
2. $9x(4-x)=31$
3. $x^{2}-9x=x-3$
4. $3(x^{2}+4x-2)=2(x-3)$
5. $6x^{2}-7x=3x^{2}-{\frac {x}{2}}$

Solució 

Per al desenvolupament de cada exercici, mirau els vídeos. Equació 1. Solucions: aproximadament $-1.63$ i $-0.37$ Equació 2. Solucions: ${\dfrac {6-{\sqrt {5}}}{3}}$ i ${\dfrac {6+{\sqrt {5}}}{3}}$. Equació 3. El vídeo a partir del minut 6:24. Solucions: aproximadament $9.69$ i $0.31$ Equació 4. El vídeo a partir del minut 8:11. Solucions: $0$ i $-{\dfrac {10}{3}}$ Equació 5. El vídeo a partir del minut 4:25. Solucions $0$ i ${\dfrac {13}{6}}$