Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/ESPA/Matemàtiques/Matemàtiques 2.2/Unitat 1. L'equació de segon grau/Problema 1 - Billet que cau

Experiment del billet que cau

Hi ha un experiment que consisteix a col·locar un billet entre els dits d'una altra persona i demanar-li si és capaç d'agafar-lo a partir del moment que el deixam caure. És important no donar-li pistes de quan caurà. El podrà agafar?

Pots agafar el billet?

Resulta impossible agafar-lo. Per què? Les matemàtiques ens donen una explicació.

El temps de reacció

El temps de reacció és el temps que transcorre entre l'estimulació d'un òrgan sensorial i l'inici d'una resposta o una reacció.

A l'experiment indicat, el temps de reacció mesura el temps entre el moment en què els ulls veuen que el regle cau i el moment en què aquesta persona mou els dits per poder agafar el regle.

Explicació matemàtica

Si tenguéssim una càmera d'alta velocitat podríem anotar les dades següents:

• Quan ha transcorregut 0.1 segons, la distància caiguda ha estat de 49 mm
• Quan ha transcorregut 0.2 segons, la distància caiguda ha estat de 196 mm
• Quan ha transcorregut 0.3 segons, la distància caiguda ha estat de 441 mm

Aquestes 3 dades serveixen per establir una propietat d'aquest experiment: amb mètodes matemàtics (amb la possible ajuda del Geogebra), es pot deduir que en aquest experiment hi intervé l'equació següent:

$d=4,9t^{2}$

El temps $t$ s'expressa en segons i la distància $d$ recorreguda pel billet està expressada en metres.

Aquest és un exemple de funció quadràtica perquè hi apareixen les variables elevades al quadrat, en aquest cas només la variable $t$. De vegades també ho veureu amb el nom de model quadràtic.

El valor numèric

Si donam valors a la variable $t$ i operam, els resultats són les diverses distàncies que recorre el billet. Per exemple, si ha transcorregut 1 segon des que s'ha alliberat el billet, aleshores el resultat ens donarà quants de metres ha caigut des de la posició inicial:

Quan $t=1$ segons, aleshores $d=4,9\cdot 1^{2}=4,9m$

Per tant, al cap de 1 segon, el billet ha caigut gairebé 5 metres.

Si $t=0,5$ segons, aleshores $d=4,9\cdot 0,5^{2}=1,225m$

La distància caiguda encara és gran. Hem reduït el temps a la meitat però la distància s'ha reduït bastant més. Vegem què passa per a altres fraccions de segon.

Substitució amb t=0.1

Si $t=0,1$, aleshores

$d=4,9\cdot 0,1^{2}=0,049$

Substitució amb t=0.2

Si $t=0,2$, aleshores

$d=4,9\cdot 0,2^{2}=0,196$

Substitució amb t=0.3

Si $t=0,3$, aleshores

$d=4,9\cdot 0,3^{2}=0,411$

Substitució amb t=0.4

Si $t=0,4$, aleshores

$d=4,9\cdot 0,4^{2}=0,784m=784$

El resultat de les diverses seqüències d'operacions amb el seu resultat final s'anomena valor numèric. Com es pot observar, aquest valor numèric depèn del valor que assignem a la variable, en aquest cas $t$.

Taules de valors

Podem ordenar aquests resultats a una taula a dues columnes de la forma següent:

$t$	$d=4,9t^{2}$
0,1	0,049
0,2	0,196
0,3	0,441
0,4	0,784
0,5	1,225
1	4,9

El temps està expressat en segons i la distància em metres.

O bé en dues files, segons com volguem mostrar les dades:

$t$	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	1
$d=4,9t^{2}$	0,049	0,196	0,441	0,784	1,225	4,9

A aquest tipus de taules, que recullen les dades de dues variables (o fins i tot més), se les anomena taules de valors.

$t$	metres	mil·límetres	centímetres
0,1	0,049 m	49 mm	$\approx 5cm$
0,2	0,196 m	196 mm	$\approx 20cm$
0,3	0,411 m	441 mm	$\approx 44cm$
0,4	0,784 m	784 mm	$\approx 78cm$
0,5	1,225 m	1225 mm	$\approx 123cm$
1	4,9 m	4900 mm	$\approx 490cm$

Representació gràfica

• 
• 

En el primer gràfic s'han representat els punts entre els moments 0 i 0.5. El punt corresponent a $t=1$ s'ha escapat del gràfic.

En el segon gràfic s'han representat tots els punts calculats. Com es pot comprovar els punts tenen cada vegada més altura.

Conclusions

Si observam la taula de valors, comprovam que els valors són cada vegada més grans. En el gràfic, també s'observa un creixement de les altures a mesura que el temps avança. I a més, la diferència és cada vegada més gran.

Si la persona que ha d'agafar el billet tarda 2 dècimes de segon, el billet ja ha caigut gairebé 20 cm. Si tarda 1 dècima de segon, el billet ja ha caigut gairebé 5 cm. Per tant, aquesta persona hauria de tardar menys d'una dècima de segon perquè la distància es reduís per davall els 5 cm i d'aquesta forma en el moment de tancar els dits el billet encara hi seria. Certament, reduir aquest temps per davall de la dècima de segon és pràcticament impossible.