Matemàtiques (nivell ESO)/Calcular la diferència i el primer terme

Calcular la diferència i el primer terme

---

Terme general d'una progressió aritmètica         Suma dels n primers termes d'una progressió aritmètica

---

del llibre Matemàtiques (nivell ESO)

Com calcular la diferència

La diferència d'una progressió aritmètica es calcula així:

${\begin{matrix}d\end{matrix}}$ = ${\begin{matrix}a_{2}\end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}a_{1}\end{matrix}}$

EXPLICACIÓ: Això és el mateix que ${\begin{matrix}a_{4}\end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}a_{3}\end{matrix}}$ o ${\begin{matrix}a_{25}\end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}a_{24}\end{matrix}}$. Sempre es calcula restant el terme posterior menys l'anterior.

Calcular la diferència si no tenim 2 termes seguits

Si es donés el cas que no disposem de 2 termes seguits o contigus, com per exemple ${\begin{matrix}a_{5}\end{matrix}}$ i ${\begin{matrix}a_{2}\end{matrix}}$, podem calcular la ${\begin{matrix}d\end{matrix}}$ amb aquest mètode:

$d={\frac {a_{5}-a_{2}}{3}}$

EXPLICACIÓ: Aquesta fórmula s'explica que com a numerador es resta el nombre major menys el menor, i al denominador es col·loca la diferència entre les ${\begin{matrix}n\end{matrix}}$ (5 - 2 = 3).

Com calcular el primer terme

Per tal de calcular el primer terme, necessitarem disposar de la diferència (${\begin{matrix}d\end{matrix}}$) prèviament calculada, ja que hem de transforar la fórmula del terme general en una equació.

${\begin{matrix}a_{1}\end{matrix}}$ = ${\begin{matrix}a_{n}\end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}d\end{matrix}}$·(${\begin{matrix}n\end{matrix}}$ - 1)

• Exemple:

Si sabem que en una progressió aritmètica ${\begin{matrix}a_{9}\end{matrix}}$ = 32 i ${\begin{matrix}a_{5}\end{matrix}}$ = 12, calcula ${\begin{matrix}a_{1}\end{matrix}}$ i ${\begin{matrix}a_{n}\end{matrix}}$

· Primer de tot, per calcular ${\begin{matrix}a_{1}\end{matrix}}$, necessitem saber quin és el valor de la diferència (${\begin{matrix}d\end{matrix}}$). Per calcular-la, utilitzarem la fórmula corresponent:

$d={\frac {a_{9}-a_{5}}{4}}$ = ${\frac {32-12}{4}}$ = 5

· Un cop sabem que ${\begin{matrix}d\end{matrix}}$ = 5, podem calcular ${\begin{matrix}a_{1}\end{matrix}}$:

${\begin{matrix}a_{1}\end{matrix}}$ = ${\begin{matrix}a_{n}\end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}d\end{matrix}}$·(${\begin{matrix}n\end{matrix}}$ - 1) = ${\begin{matrix}a_{9}\end{matrix}}$ - 5 · (9 - 1) = 32 - 40 = -8

${\begin{matrix}a_{1}\end{matrix}}$ = - 8

· Ara que ja tenim ${\begin{matrix}a_{1}\end{matrix}}$ i ${\begin{matrix}d\end{matrix}}$, podem calcular definitivament el terme general:

${\begin{matrix}a_{n}\end{matrix}}$ = - 8 + 5 · (${\begin{matrix}n\end{matrix}}$ - 1) = -8 + 5·${\begin{matrix}n\end{matrix}}$ -5

${\begin{matrix}a_{n}\end{matrix}}$ = - 8 + (5 · ${\begin{matrix}n\end{matrix}}$) - 5