Matemàtiques (nivell ESO)/Terme general d'una progressió aritmètica

Terme general d'una progressió aritmètica

---

Progressions aritmètiques         Calcular la diferència i el primer terme

---

del llibre Matemàtiques (nivell ESO)

Fórmula

La fórmula per calcular el terme general d'una progressió aritmètica és:

${\begin{matrix}a_{n}\end{matrix}}$ = ${\begin{matrix}a_{1}\end{matrix}}$ + ${\begin{matrix}d\end{matrix}}$·(${\begin{matrix}n\end{matrix}}$ - 1)

En què ${\begin{matrix}a_{1}\end{matrix}}$ és el primer terme de la progressió i ${\begin{matrix}d\end{matrix}}$, la diferència.

• Exemple:

Quin és el terme general d'aquesta progressió geomètrica si ${\begin{matrix}d\end{matrix}}$ = 4 ?

4, 8, 12, 16, 20, 24 ...

${\begin{matrix}a_{1}\end{matrix}}$ = 4

${\begin{matrix}a_{n}\end{matrix}}$ = ${\begin{matrix}a_{1}\end{matrix}}$ + ${\begin{matrix}d\end{matrix}}$·(${\begin{matrix}n\end{matrix}}$ - 1)

${\begin{matrix}a_{n}\end{matrix}}$ = 4 + 4 · (n - 1) = 4 + (4 · n) - 4

${\begin{matrix}a_{n}\end{matrix}}$ = 4 + (4 · n) - 4

Com calculem ara ${\begin{matrix}a_{13}\end{matrix}}$ si tenim el terme general que és 4 + (4 · n) - 4 ?

${\begin{matrix}a_{13}\end{matrix}}$ = 4 + (4 · 13) - 4 = 52

${\begin{matrix}a_{13}\end{matrix}}$ = 52

Demostració

Considerem una progressió aritmètica $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}...$, de manera que la diferència sigui $d$. Anem a demostrar que el terme general és $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

Ho raonarem de manera inductiva a partir de $a_{2}$, després $a_{3}$ i així successivament.

Aprofitant que existeix una diferència $d$ entre termes...

• El terme 2 es pot calcular com:

  $a_{2}=a_{1}+d$

• El terme 3 es pot calcular com:

  $a_{3}=a_{2}+d$

  però substituint:

  $a_{3}=a_{1}+d+d=a_{1}+2d$

• El terme 4 es pot calcular com:

  $a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+2d+d=a_{1}+3d$

Seguint així arribaríem a veure que

$a_{n}=a_{n-1}+d=a_{1}+(n-1)d$

Això demostra el que volíem.