Matemàtiques (nivell ESO)/Equacions de segon grau/Un examen resolt

Pregunta 1

1. Resol les equacions de segon grau següents:

1. $x^{2}+17x=-70\$
2. $x^{2}=-x-1\$

1. $27-3x^{2}=0\$
2. $-x^{2}+13x=0\$
3. $2\cdot (x^{2}+4)-3\cdot (2x-4)=40\$
4. $(x-5)^{2}=36\$

Resolem la primera equació passa per passa:

• Passam abans tots els termes a un costat:

$x^{2}+17x+70=0\$

• Intentam aplicar la fórmula de l'equació de segon grau:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\$

• Per això identificam les lletres $a=1$, $b=17$ i $c=70$
• Substituim a la fórmula anterior i operam:

$x={\frac {-17\pm {\sqrt {17^{2}-4\cdot 1\cdot 70}}}{2\cdot 1}}\$

$={\frac {-17\pm {\sqrt {289-280}}}{2}}$

$={\frac {-17\pm 3}{2}}$

• Distigim les dues solucions:

$x={\frac {-17+3}{2}}=-7$ i $x={\frac {-17-3}{2}}=-10$

Resolem la segona equació passa per passa:

• Passam abans tots els termes a un costat:

$x^{2}+x+1=0\$

• Intentam aplicar la fórmula de l'equació de segon grau:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\$

• Per això identificam les lletres $a=1$, $b=1$ i $c=1$
• Substituim a la fórmula anterior i operam:

$x={\frac {-1\pm {\sqrt {1^{2}-4\cdot 1\cdot 1}}}{2\cdot 1}}\$

$={\frac {-1\pm {\sqrt {1-4}}}{2}}$

$={\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}$

• Com que el discriminant és negatiu (-3), l'equació de segon grau és incompatible.

Resolem la tercera equació passa per passa:

• Tots els termes ja estan al mateix costat.
• Intentam aplicar la fórmula de l'equació de segon grau:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\$

• Per això identificam les lletres $a=-3$, $b=0$ i $c=27$
• Substituim a la fórmula anterior i operam:

$x={\frac {-0\pm {\sqrt {0^{2}-4\cdot (-3)\cdot 27}}}{2\cdot (-3)}}\$

$={\frac {\pm {\sqrt {324}}}{-6}}$

$={\frac {\pm 18}{-6}}$

• Distigim les dues solucions:

$x={\frac {+18}{-6}}=-3$ i $x={\frac {-18}{-6}}=+3$

Resolem la quarta equació passa per passa:

• Tots els termes ja estan al mateix costat
• Intentam aplicar la fórmula de l'equació de segon grau:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\$

• Per això identificam les lletres $a=-1$, $b=13$ i $c=0$
• Substituim a la fórmula anterior i operam:

$x={\frac {-13\pm {\sqrt {13^{2}-4\cdot (-1)\cdot 0}}}{2\cdot (-1)}}\$

$={\frac {-13\pm {\sqrt {169}}}{-2}}$

$={\frac {-13\pm 13}{-2}}$

• Distigim les dues solucions:

$x={\frac {-13+13}{-2}}=0$ i $x={\frac {-13-13}{-2}}=+13$

Pregunta 3

3. Un terreny rectangular de 30 x 40 metres és travessat per un camí recte que és el més llarg possible. Quina distància té aquest camí?

Resolem el problema passa a passa:

• El terreny correspon a una figura geomètrica d'un rectangle.
• El camí que ens demanen és la diagonal d'aquest rectangle.
• La diagonal divideix el terreny en dos triangles rectangles.
• La hipotenusa mesura el mateix que la diagonal.
• El triangle rectangle té com a catets 30 i 40.
• Diguem $x$ a la hipotenusa, que serà també la diagonal.
• Aplicam la fórmula del teorema de Pitàgores:

  $h^{2}=a^{2}+b^{2}$

• Substituim pels valors concrets i obtenim:

  $x^{2}=30^{2}+40^{2}$

• Operam i aïllam la incògnita:

  $x^{2}=900+1600$

  $x^{2}=2500$

  $x=\pm {\sqrt {2500}}=\pm 50$

• Descartam el valor negatiu perquè es tracta d'una longitud (positiva).
• Per tant, la hipotenusa fa 50 metres. I també el camí que ens demanen.

Pregunta 4

4. Calcula dos nombres sabent que es diferencien en 10 unitats i el seu producte és 144.

Resolem el problema passa a passa:

• Fem el plantejament en termes d'equacions. Com que han de ser dos nombres diferents en 10 unitats, un d'ells serà $x$ i l'altre serà $x+10$
• L'enunciat diu que el seu producte és 144 i per tant obtenim l'equació

$x\cdot (x+10)=144$

• Operam fent servir la propietat distributiva:

$x^{2}+10x=144$

• Passam tots els termes a un costat:

$x^{2}+10x-144$

• Aprofitam la fórmula de l'equació de segon grau.

  $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

• Identificam les lletres $a=1$, $b=10$ i $c=-144$
• Substituim i operam:

  $x={\frac {-10\pm {\sqrt {10^{2}-4\cdot 1\cdot (-144)}}}{2\cdot 1}}$

  $={\frac {-10\pm {\sqrt {100+576}}}{2}}$

  $={\frac {-10\pm 26}{2}}$

• Distingim les dues solucions: $x={\frac {-10+26}{2}}=+8$ i $x={\frac {-10-26}{2}}=-18$
• Per a cada una de les solucions, hem de trobar el segon nombre.
• Per al valor $x=+8$ obtenim $x+10=+8+10=+18$
• Per al valor $x=-18$ obtenim $x+10=-18+10=-8$
• En conclusió veiem que les solucions són
  • $+8$ i $+18$
  • $-18$ i $-8$

Pregunta 5

5. Calcula els costats d'un triangle rectangle si sabem que compleix aquestes dues coses:

1. La hipotenusa mesura 10 unitats més que el catet menor.
2. El catet major mesura 5 unitats més que el catet menor.

Resolem el problema passa per passa:

• Els costats d'un triangle rectangle es calculen amb el teorema de Pitàgores.
• Diguem $x$ al catet menor.
• Aleshores:

  $(x+10)^{2}=(x+5)^{2}+x^{2}\$

• Desenvolupam la igualtat emprant una de les identitats notables:

  $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\$

• El resultat queda:

  $x^{2}+20x+100=x^{2}+10x+25+x^{2}\$

  $x^{2}+20x+100-x^{2}-10x-25-x^{2}=0\$

• Simplificam i passam tots els termes a un costat:

  $-x^{2}+10x+75=0$

• Aplicam la fórmula de l'equació de segon grau:

  $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\$

• Posam valors a les lletres: $a=-1$, $b=10$ i $c=75$
• Com a solució, obtenim $x=15$ i $-5$ però descartam la negativa perquè es tracta de longituds (positives).
• En conclusió, els costats d'aquest triangle mesuren 15, 20 i 25.

Pregunta 6

6. Contesta les preguntes teòriques següents:

1. Defineix què és el discriminant d'una equació de segon grau.
2. Escriu una equació de segon grau que sigui incompatible i diferent de les del primer exercici.

El discriminant és l'expressió algebraica que apareix sota el signe de l'arrel dins la fórmula que resol l'equació de segon grau i serveix per determinar el nombre de solucions d'una equació de segon grau. Concretament, si l'equació de segon grau té la forma

$ax^{2}+bx+c=0\$

aleshores el discriminant és

$b^{2}-4ac\$

Ara si el discriminant és estrictament positiu, l'equació de segon grau tendrà 2 solucions. Si és estrictament negatiu, no tendrà cap solució. I si és igual a zero, només tendrà una solució.

Com a exemples d'equacions de segon grau inconmpatibles, podem escriure qualsevol que tengui discriminant negatiu. Per exemple:

• $x^{2}+9=0$
• $2x^{2}+2x+2=0$
• $x^{2}-3x+10=0$