Matemàtiques (nivell ESO)/Operacions amb esdeveniments

Amb els esdeveniments d'un experiment aleatori es poden efectuar diferents operacions. Donats dos esdeveniments A i B podem definir les operacions d'unió, intersecció, diferència i complementari.

Operacions amb esdeveniments de Matemàtiques (nivell ESO)

Tornar a Índex general

Unió

La unió de A i B és l'esdeveniment format per tots els esdeveniments elementals de A i de B. Es verifica quan succeeix A o succeeix B o tots dos. S'indica:

$A\cup B$

Taula per a la unió:

Pertany a A	Pertany a B	Pertany al resultat $A\cup B$
Sí	Sí	Sí
Sí	No	Sí
No	Sí	Sí
No	No	No

Intersecció

La intersecció de A i B és l'esdeveniment format pels esdeveniments elementals comuns a A i B. Es verifica quan ocorren A i B a la vegada. S'indica:

$A\cap B$

Taula per a la intersecció:

Pertany a A	Pertany a B	Pertany al resultat $A\cap B$
Sí	Sí	Sí
Sí	No	No
No	Sí	No
No	No	No

Per exemple

$A=\{5,6,7,8,9,10\}$

$B=\{9,10\}$

$A\cap B=\{9,10\}$

Diferència

La diferència de A i B és l'esdeveniment format pels esdeveniments elementals de A que no pertanyen a B. Es verifica si succeeix A però no succeeix B. S'indica:

$A-B$

Per exemple: $A=\{1,2\}$, $B=\{2,4,5,6\}$

El conjunt $A-B$ ha d'estar format pels elements de A, però eliminant els que també estiguin dins B.

Aleshores de la llista de nombres 1, 2 que estan dins A, hem d'eliminar els de B, que són 2, 5, 6. Per tant eliminam el 2, però no fem res amb 5 i 6 perquè tanmateix no són dins A.

$A=\{$	${\color {green}1}$	${\color {green}2}$					$\}$
$B=\{$		${\color {red}2}$		${\color {red}4}$	${\color {red}5}$	${\color {red}6}$	$\}$
	$\downarrow$	${\color {red}\times }$	${\color {red}\times }$	${\color {red}\times }$	${\color {red}\times }$	${\color {red}\times }$
$A-B=\{$	${\color {green}1}$						$\}$

Per tant $A-B=\{1\}$

Taula per a la diferència:

Pertany a A	Pertany a B	Pertany al resultat $A-B$
Sí	Sí	No
Sí	No	Sí
No	Sí	No
No	No	No

Complementari

El complementari de A es defineix com $\Omega -A$. S'indica:

${\overline {A}}$ o també $A^{c}$

Per exemple si $A=\{1,2\}$

${\overline {A}}$ ha d'estar format per tots els elements de l'univers que no apareguin dins A.

Taula per al complementari:

Pertany a A	Pertany al resultat ${\bar {A}}$
Sí	No
No	Sí

Escrivim la llista completa de nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6. Eliminam aquells nombres que estan dins A, és a dir, esborram 1, 2, de forma que queden 3, 4, 5, 6

$\Omega =\{$	${\color {green}1}$	${\color {green}2}$	${\color {green}3}$	${\color {green}4}$	${\color {green}5}$	${\color {green}6}$	$\}$
$A=\{$	${\color {red}1}$	${\color {red}2}$					$\}$
	${\color {red}\times }$	${\color {red}\times }$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$
${\overline {A}}=\{$			${\color {green}3}$	${\color {green}4}$	${\color {green}5}$	${\color {green}6}$	$\}$

Per tant ${\overline {A}}=\{3,4,5,6\}$

Quadre resum

Símbol	Operació	Resultat
$A\cup B$	Unió	els elements que són de A, juntament amb els que són de B, sense repetir-los
$A\cap B$	Intersecció	els elements que són de A i al mateix temps de B
$A-B$	Diferència	els elements que són de A però no estan dins B
$A^{c}$, ${\overline {A}}$	Complementari	els elements de l'espai mostral que no estan dins A

Algunes propietats

La diferència compleix la igualtat: $A-B=A\cap {\overline {B}}$.

Exemples

Si consideram l'univers $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ dels resultats de llançar un dau de 6 cares i els esdeveniments següents:

• $A=\{1,2\}$
• $B=\{4,6\}$
• $C=\{2,5,6\}$

Aleshores com es descriuen les operacions següents?

Què és $A\cup C$

$A\cup C$ ha d'estar format per tots els elements de A i tots els elements de C, però sense repetir-los.

Aleshores escrivim 1, 2 que provenen de A i també 5, 6 del C, però no tornam a escriure 2 perquè ja l'hem inclòs.

$A=\{$	${\color {green}1}$	${\color {orange}2}$					$\}$
$C=\{$		${\color {orange}2}$		${\color {green}4}$	${\color {green}5}$	${\color {green}6}$	$\}$
	$\downarrow$	$\downarrow$	${\color {red}\times }$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$
$A\cup C=\{$	${\color {green}1}$	${\color {orange}2}$		${\color {green}4}$	${\color {green}5}$	${\color {green}6}$	$\}$

Per tant $A\cup C=\{1,2,5,6\}$

Què és $A\cap C$?

$A\cap C$ ha d'estar format només per aquells elements de A que també estiguin dins C.

Aleshores escrivim el 2 perquè pertany a A i també a C, però no escrivim 1 perquè només està dins A, ni tampoc 5, 6 perquè només estan dins C.

$A=\{$	${\color {red}1}$	${\color {green}2}$					$\}$
$C=\{$		${\color {green}2}$		${\color {red}4}$	${\color {red}5}$	${\color {red}6}$	$\}$
	${\color {red}\times }$	$\downarrow$	${\color {red}\times }$	${\color {red}\times }$	${\color {red}\times }$	${\color {red}\times }$
$A\cap C=\{$		${\color {green}2}$					$\}$

Per tant $A\cap C=\{2\}$

Practica

Considerem l'univers $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ dels resultats de llançar un dau de 6 cares i els esdeveniments següents:

• $A=\{1,2\}$
• $B=\{4,6\}$
• $C=\{2,5,6\}$

Calcula el resultat de cada una de les operacions.

$A\cup B$  $A\cup B=\{1,2,4,6\}$	$A\cup C$  $A\cup C=\{1,2,5,6\}$	$B\cup C$  $B\cup C=\{2,4,5,6\}$
$A\cap B$  $A\cap B=\{\}$	$A\cap C$  $A\cap C=\{2\}$	$B\cap C$  $B\cap C=\{6\}$
$A-B$  $A-B=\{1,2\}$	$B-A$  $B-A=\{4,6\}$	$A-C$  $A-C=\{1\}$
$C-A$  $C-A=\{5,6\}$	$B-C$  $B-C=\{4\}$	$C-B$  $C-B=\{2,5\}$
${\overline {A}}$  ${\overline {A}}=\{3,4,5,6\}$	${\overline {B}}$  ${\overline {B}}=\{1,2,3,5\}$	${\overline {C}}$  ${\overline {C}}=\{1,3,4\}$

Compatibilitat

En un experiment aleatori hi ha esdeveniments que es poden verificar a la vegada i d'altres que no.

Dos esdeveniments són:

• Compatibles si tenen algun esdeveniment elemental comú. En aquest cas $A\cap B\neq \emptyset$: es poden verificar a la vegada.
• Incompatibles si no tenen cap esdeveniment elemental en comú: en aquest cas $A\cap B=\emptyset$ i no es poden verificar a la vegada.

Un esdeveniment i el seu contrari són sempre incompatibles, però dos esdeveniments incompatibles no sempre són contraris, com es pot comprovar al següent exemple.

Exemple 1

Si consideram l'espai mostral $E=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ i esdeviments $A=\{1,2\}$, $B=\{3,4\}$, aleshores $A$ i $B$ són incompatibles (no tenen cap nombre en comú), però $A$ i $B$ no són contraris (hi faltarien els nombres 5, 6, 7, 8).

Exemple 2

Continuant amb l'exemple del dau de 6 cares, serien incompatibles els esdeveniments següents:

• $A$ i $B$
• $A$ i $B\cap C$
• $A$ i $B-A$