Matemàtiques (nivell ESO)/Operacions amb esdeveniments

Operacions amb esdeveniments de Matemàtiques (nivell ESO)

Tornar a Índex general

Amb els esdeveniments d'un experiment aleatori es poden efectuar diferents operacions. Donats dos esdeveniments A i B podem definir les operacions d'unió, intersecció, diferència i complementari.

Unió

La unió de A i B és l'esdeveniment format per tots els esdeveniments elementals de A i de B. Es verifica quan succeeix A o succeeix B o tots dos. S'indica:

$A\cup B$

Intersecció

La intersecció de A i B és l'esdeveniment format pels esdeveniments elementals comuns a A i B. Es verifica quan ocorren A i B a la vegada. S'indica:

$A\cap B$

Per exemple

$A=\{5,6,7,8,9,10\}$

$B=\{9,10\}$

$A\cap B=\{9,10\}$

Diferència

La diferència de A i B és l'esdeveniment format pels esdeveniments elementals de A que no pertanyen a B. Es verifica si succeeix A però no succeeix B. S'indica:

$A-B$

Per exemple: $A=\{1,2\}$, $B=\{2,4,5,6\}$

El conjunt $A-B$ ha d'estar format pels elements de A, però eliminant els que també estiguin dins B.

Aleshores de la llista de nombres 1, 2 que estan dins A, hem d'eliminar els de B, que són 2, 5, 6. Per tant eliminam el 2, però no fem res amb 5 i 6 perquè tanmateix no són dins A.

$A=\{$	${\color {green}1}$	${\color {green}2}$					$\}$
$B=\{$		${\color {red}2}$		${\color {red}4}$	${\color {red}5}$	${\color {red}6}$	$\}$
	$\downarrow$	${\color {red}\times }$	${\color {red}\times }$	${\color {red}\times }$	${\color {red}\times }$	${\color {red}\times }$
$A-B=\{$	${\color {green}1}$						$\}$

Per tant $A-B=\{1\}$

Complementari

El complementari de A es defineix com $\Omega -A$. S'indica:

${\overline {A}}$ o també $A^{c}$

Per exemple si $A=\{1,2\}$

${\overline {A}}$ ha d'estar format per tots els elements de l'univers que no apareguin dins A.

Escrivim la llista completa de nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6. Eliminam aquells nombres que estan dins A, és a dir, esborram 1, 2, de forma que queden 3, 4, 5, 6

$\Omega =\{$	${\color {green}1}$	${\color {green}2}$	${\color {green}3}$	${\color {green}4}$	${\color {green}5}$	${\color {green}6}$	$\}$
$A=\{$	${\color {red}1}$	${\color {red}2}$					$\}$
	${\color {red}\times }$	${\color {red}\times }$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$
${\overline {A}}=\{$			${\color {green}3}$	${\color {green}4}$	${\color {green}5}$	${\color {green}6}$	$\}$

Per tant ${\overline {A}}=\{3,4,5,6\}$

Quadre resum

Símbol	Operació	Resultat
$A\cup B$	Unió	els elements que són de A, juntament amb els que són de B, sense repetir-los
$A\cap B$	Intersecció	els elements que són de A i al mateix temps de B
$A-B$	Diferència	els elements que són de A però no estan dins B
$A^{c}$	Complementari	els elements de l'espai mostral que no estan dins A

Algunes propietats

La diferència compleix la igualtat: $A-B=A\cap {\overline {B}}$.

Exemples

Si consideram l'univers $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ dels resultats de llançar un dau de 6 cares i els esdeveniments següents:

• $A=\{1,2\}$
• $B=\{4,6\}$
• $C=\{2,5,6\}$

Aleshores com es descriuen les operacions següents?

Què és $A\cup C$

$A\cup C$ ha d'estar format per tots els elements de A i tots els elements de C, però sense repetir-los.

Aleshores escrivim 1, 2 que provenen de A i també 5, 6 del C, però no tornam a escriure 2 perquè ja l'hem inclòs.

$A=\{$	${\color {green}1}$	${\color {orange}2}$					$\}$
$C=\{$		${\color {orange}2}$		${\color {green}4}$	${\color {green}5}$	${\color {green}6}$	$\}$
	$\downarrow$	$\downarrow$	${\color {red}\times }$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$
$A\cup C=\{$	${\color {green}1}$	${\color {orange}2}$		${\color {green}4}$	${\color {green}5}$	${\color {green}6}$	$\}$

Per tant $A\cup C=\{1,2,5,6\}$

Què és $A\cap C$?

$A\cap C$ ha d'estar format només per aquells elements de A que també estiguin dins C.

Aleshores escrivim el 2 perquè pertany a A i també a C, però no escrivim 1 perquè només està dins A, ni tampoc 5, 6 perquè només estan dins C.

$A=\{$	${\color {red}1}$	${\color {green}2}$					$\}$
$C=\{$		${\color {green}2}$		${\color {red}4}$	${\color {red}5}$	${\color {red}6}$	$\}$
	${\color {red}\times }$	$\downarrow$	${\color {red}\times }$	${\color {red}\times }$	${\color {red}\times }$	${\color {red}\times }$
$A\cap C=\{$		${\color {green}2}$					$\}$

Per tant $A\cap C=\{2\}$

Practica

$A\cup B$  $A\cup B=\{1,2,4,6\}$	$A\cup C$  $A\cup C=\{1,2,5,6\}$	$B\cup C$  $B\cup C=\{2,4,5,6\}$
$A\cap B$  $A\cap B=\{\}$	$A\cap C$  $A\cap C=\{2\}$	$B\cap C$  $B\cap C=\{6\}$
$A-B$  $A-B=\{1,2\}$	$B-A$  $B-A=\{4,6\}$	$A-C$  $A-C=\{1\}$
$C-A$  $C-A=\{5,6\}$	$B-C$  $B-C=\{4\}$	$C-B$  $C-B=\{2,5\}$
${\overline {A}}$  ${\overline {A}}=\{3,4,5,6\}$	${\overline {B}}$  ${\overline {B}}=\{1,2,3,5\}$	${\overline {C}}$  ${\overline {C}}=\{1,3,4\}$

Compatibilitat

En un experiment aleatori hi ha esdeveniments que es poden verificar a la vegada i d'altres que no.

Dos esdeveniments són:

• Compatibles si tenen algun esdeveniment elemental comú. En aquest cas $A\cap B\neq \emptyset$: es poden verificar a la vegada.
• Incompatibles si no tenen cap esdeveniment elemental en comú: en aquest cas $A\cap B=\emptyset$ i no es poden verificar a la vegada.

Un esdeveniment i el seu contrari són sempre incompatibles, però dos esdeveniments incompatibles no sempre són contraris, com es pot comprovar al següent exemple.

Exemple 1

Si consideram l'espai mostral $E=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ i esdeviments $A=\{1,2\}$, $B=\{3,4\}$, aleshores $A$ i $B$ són incompatibles (no tenen cap nombre en comú), però $A$ i $B$ no són contraris (hi faltarien els nombres 5, 6, 7, 8).

Exemple 2

Continuant amb l'exemple del dau de 6 cares, serien incompatibles els esdeveniments següents:

• $A$ i $B$
• $A$ i $B\cap C$
• $A$ i $B-A$