Matemàtiques (Prova d'accés a cicles formatius de grau superior)/Equacions

Equacions

---

Polinomis         Trigonometria

---

del llibre Matemàtiques (Prova d'accés a cicles formatius de grau superior)

S'anomena incògnita una lletra que representa un element d'un conjunt (o un subconjunt dels seus elements), la identitat exacta del qual (o dels quals) no es coneix. Per exemple, el nombre exacte d'habitants de Barcelona a 31 de desembre de 2008 a les 24h és un nombre natural concret, però si no es coneix es pot representar mitjançant una lletra, com per exemple P. O, per exemple, la distància que recorrerà un objecte sotmès a la força de la gravetat a la ciutat de Barcelona al nivell del mar en caure sense velocitat inicial durant un segon és un nombre real que es pot representar per una incògnita, per exemple x. Un altre exemple pot ser per representar l'instant en que un objecte llençat cap amunt passarà a una alçada d'un metre per damunt d'on ha estat llançat. Aquest instant es pot expressar amb la incògnita t. En aquest exemple la incògnita t pot no representar cap element del conjunt dels nombres reals (si la velocitat inicial no és prou gran per arribar a enlairar-se un metre), pot representar-ne un (si tot just arriba a enlairar-se un metre abans de tornar a caure) o un subconjunt del conjunt dels nombres reals format per dos elements (un en arribar a enlairar-se un metre tot pujant i un altre en passar per la mateixa alçada al tornar a caure).

Les incògnites poden representar nombres naturals, enters, reals, o objectes de conjunts més complexos com vectors, matrius o funcions.

Una fórmula és una expressió matemàtica que indica les operacions que s'han de fer amb les incògnites per calcular un valor (un element del conjunt en que està definida la fórmula). Les operacions han de ser operacions que estiguin definides en el conjunt de valors al qual pertany la incògnita. Per exemple una fórmula pot dir: agafeu el nombre d'habitants de Barcelona el 31-12-2008 a les 24h i sumeu-li el nombre de nascuts durant l'any 2009, resteu-li el nombre de defuncions durant l'any 2009, sumeu-li el nombre de immigrants durant l'any 2009 i resteu-li el nombre de emigrants durant l'any 2009. En aquest cas la fórmula permet obtenir un nombre natural que es pot interpretar com el nombre d'habitants el 31-12 de 2009 a les 24h. Un altre exemple pot ser: multipliqueu la distància recorreguda per l'objecte en caure pel seu pes. En aquest cas també s'obté un resultat que es pot interpretar com el treball fet per la gravetat sobre l'objecte. Les fórmules normalment s'expressen fent servir els símbols de les operacions matemàtiques i lletres que representen incògnites o constants. Les constants no són més que elements del conjunt que es representen amb lletres per simplificar-ne l'escriptura, per exemple l'acceleració de la gravetat a Barcelona al nivell del mar es pot escriure a la fórmula com 9,81 o com g.

Una equació és una expressió matemàtica que diu que dues fórmules per a determinats valors de les incògnites donen el mateix resultat. Del procés de trobar quins són els valors de les incògnites per als quals els resultats de les dues fórmules són iguals se'n diu resoldre l'equació i d'aquests valors se'n diu solucions de l'equació.

Conceptes generals

Les solucions que té (o admet) una determinada equació depenen de l'equació i del conjunt al qual han de pertànyer els elements representats per les incògnites. Per exemple, l'equació:

$x^{2}=4\,$

Només admet una solució (x = 2) si la incògnita pertany al conjunt dels nombres naturals. En canvi, si pertany al conjunt dels nombres enters, llavors n'admet dues (x = 2 i x = -2).

Per exemple, l'equació:

$x^{2}+16=y^{2}\,$

Si x i y són nombres naturals, només admet la solució x= 3 i y = 5, mentre que si poden ser nombres reals admet infinites solucions, x pot valer qualsevol nombre real i per cadascun d'aquest nombres reals hi haurà dos valors de la incògnita y que faran que la igualtat sigui certa i, per tant, juntament amb el valor de x seran solucions de l'equació. En concret, els valors de y han de ser:

$y=\pm {\sqrt {x^{2}+16}}\,$

Es diu que dues equacions són equivalents si admeten les mateixes solucions.

Per exemple 2x = 2 i x - 1 = 0 són dues equacions equivalents perquè ambdues admeten com a única solució x = 1.

Les equacions es poden classificar seguint diversos criteris:

En funció del nombre d’incògnites: equació d’una incògnita, equació de dues incògnites, etc.

En funció del conjunt al qual pertanyen les incògnites: equacions diofàntiques, si les incògnites han de ser nombres enters; o equacions funcionals, si les incògnites són funcions. Si les incògnites són nombres reals, les equacions no tenen cap nom específic.

En funció del nombre de solucions que admeten. Si la equació no admet cap solució es diu equació incompatible, si en té un nombre finit es diu equació determinada i si en té infinites es diu equació indeterminada. Si tots els valors possibles de les incògnits són solucions de l’equació llavors en comptes de dir-se equació es diu que és una identitat.

Exemples.

$x^{2}+y^{2}=0\,$ Si x i y han de ser nombres reals té dues incògnites i una única solució x = 0 i y= 0

Si l’equació és equivalent a un altre on una fórmula s'iguala a zero, llavors es classifiquen segons el tipus de fórmula. Si la fórmula és un polinomi llavors es diu que és una equació polinòmica i que és de grau igual al grau del polinomi. Si la fórmula conté arrels es diu que és una equació irracional, si té exponencials es diu equació exponencial si té logaritmes es diu equació logarítmica, si té funcions trigonomètriques es diu que és una equació trigonomètrica.

Exemples.

Un pas previ a la solució d’equacions és l’obtenció successiva d’equacions equivalents a una donada. Del procés d'obtenir una equació equivalent a una donada se'n diu transformar-la.

Per obtenir una equació equivalent a un altre es poden fer dues coses:

a) Substituir una fórmula per una altra fórmula tal que, per cada valor de la incògnita doni el mateix resultat. Per exemple l'equació 3(x + 2)= 0 es pot transformar en 3 x + 6 = 0 que és equivalent a l’anterior perquè per a cada valor de x la fórmula 3( x + 2) dóna el mateix resultat que la fórmula 3 x + 6.

b) Aplicar una mateixa operació a les fórmules dels dos cantons del signe igual, amb la condició de que sigui una operació que a cada element del conjunt resultat de la fórmula li faci correspondre un altre element i que aquest altre element sigui diferent per a cada element original. Per exemple l'operació dividir entre 3, a cada element del conjunt dels nombres reals li fa correspondre un altre nombre real i no hi ha dos elements diferents que dividits entre tres donin el mateix resultat. Per tant l'equació anterior es pot transformar en x + 2 = 0 que és l’equació que resulta en dividir entre tres les dues fórmules de l'equació original (3( x + 2 )/3=( x + 2) i 0/3=0).

Fixeu-vos que si se substitueix una fórmula per una altra tal que per a cada valor de la incògnita dóna el mateix resultat que la primera, els valors de la incògnita que faran que la igualtat sigui certa seran els mateixos i els de la incògnita que faran que la igualtat no sigui certa també seran els mateixos. Per tant queda garantit que la nova equació és equivalent a la primera.

En el segon cas fixeu-vos que els valors de la incògnita que abans feien que es complís la igualtat es transformaran igual en els dos cantons del igual i per tant la igualtat es continuarà complint i els valors que abans feien que la igualtat no es complís (eren diferents) no es poden transformar en el mateix valor (altrament hi hauria dos elements diferents que donarien el mateix resultat i s'ha prohibit de fer servir aquestes operacions) per tant continuen sense ser solucions de l'equació.

En alguns casos es fan transformacions que no compleixen aquesta segona condició i llavors s'obté una nova equació que no és exactament equivalent a l'equació inicial. La nova equació té les mateixes solucions que la inicial però de vegades pot ser que n'apareguin de noves. Per exemple l’operació d’elevar al quadrat dóna el mateix resultat pels nombres negatius que pels nombres positius, per tant no compleix la segona condició (hi ha dos nombres diferents que donen el mateix resultat). Si es transforma l'equació x + 1 = 2 elevant al quadrat les dues fórmules s'obté l'equació (x + 1)² = 4 que té la mateixa solució que l'equació inicial (x = 1) però a demès té una solució que no ho és de l'equació inicial (x = -3). Això és perquè (1+1) = 2 i (-3+1) = -2 tot i ser dos nombres diferents, en elevar-los al quadrat, es transformen en el mateix nombre: 4. Aquest tipus de transformacions cal emprar-les amb compte per aquest motiu, però si el nombre de solucions afegides és discret, poden ser útils. Si permeten resoldre la segona equació. Després provant les solucions obtingudes se separen les que també ho són de la primera de les que no.

Equacions de primer grau i segon grau amb una incògnita.

Equacions de primer grau amb una incògnita

Una equació de primer grau amb una incògnita anomenada també equació lineal, tal com s’han classificat les equacions és aquella que és equivalent a una que té un polinomi de primer grau igualat a zero:

$ax+b=0\,$

On a i b són constants i x és la variable.

Per tant, per resoldre una equació de primer grau, el primer pas és transformar-la en una equació equivalent d'aquesta forma. Llavors la solució és:

$x={\frac {-b}{a}}\,$

Donat que aquesta equació és equivalent a la primera com es pot comprovar transformant-la de la següent manera:

1. Se suma (-b) als dos cantons.
2. Es multipliquen els dos cantons per 1/a:

${\begin{aligned}ax+b&=0\\ax+b+\left(-b\right)&=0+\left(-b\right)\\ax&=-b\\{\frac {1}{a}}\left(ax\right)&={\frac {1}{a}}\left(-b\right)\\x&={\frac {-b}{a}}\end{aligned}}$

NOTA 1. Fixeu-vos que en sumar als dos cantons l'oposat d'un terme que hi ha en un cantó, aquest terme desapareix del cantó on estava (sumat amb el seu oposat dóna zero) i apareix amb signe canviat a l'altre cantó del signe igual. Com que aquesta transformació es fa molt sovint s'acostuma a dir que es passa el terme a l'altre cantó i es diu que quant un terme passa a l'altre cantó canvia de signe.

NOTA 2. Fixeu-vos que en multiplicar als dos cantons per l'invers d'un factor que hi ha en un cantó, aquest factor desapareix del cantó on estava (multiplicat pel seu invers dóna 1) i apareix dividint (si multiplicava o multiplicant si dividia) a l'altre cantó del signe igual. Com que aquesta transformació es fa molt sovint s'acostuma a dir que es passa el factor a l'altre cantó i es diu que quant un factor passa a l'altre cantó si multiplicava passa dividint i si dividia passa multiplicant.

Hi ha dos casos particulars que convé comentar.

1. Si l'equació original és equivalent a 0 = 0, com que això és cert sempre independentment del valor de x l’equació original admet infinites solucions i per tant és indeterminada.
2. Si l'equació original és equivalent a 1 = 0, com que això no pot ser cert mai, independentment del valor de x llavors no hi ha cap solució i l’equació és incompatible.

Per exemple:

a) l’equació 3(x+2) = 3x + 2/3 és incompatible perquè:

${\begin{aligned}3\left(x+2\right)&=3x+{\frac {2}{3}}\\3x+6&=3x+{\frac {2}{3}}\\\left(-3x\right)+3x+6&=\left(-3x\right)+3x+{\frac {2}{3}}\\6&={\frac {2}{3}}\\6+\left(-{\frac {2}{3}}\right)&={\frac {2}{3}}\left(-{\frac {2}{3}}\right)\\6-{\frac {2}{3}}&=0\\\left({\frac {1}{6-{\frac {2}{3}}}}\right)\cdot \left(6-{\frac {2}{3}}\right)&=\left({\frac {1}{6-{\frac {2}{3}}}}\right)\cdot 0\\1&=0\end{aligned}}$

b) l’equació 3(x+2) = (9x+18)/3 és indeterminada perquè:

${\begin{aligned}3\left(x+2\right)&={\frac {\left(9x+18\right)}{3}}\\\left({\frac {1}{3}}\right)\cdot 3\left(x+2\right)&=\left({\frac {1}{3}}\right)\cdot {\frac {\left(9x+18\right)}{3}}\\x+2&={\frac {9x+18}{9}}\\x+2&={\frac {9x}{9}}+{\frac {18}{9}}\\x+2&=x+2\\\left({\frac {1}{x+2}}\right)\cdot \left(x+2\right)&=\left({\frac {1}{x+2}}\right)\cdot \left(x+2\right)\\1&=1\end{aligned}}$

Normalment no cal arribar a transformar l'equació fins a les formes 0=1 o 1=1 per per veure que no hi ha cap solució o que tots els valors de la incògnita són solucions.

Equacions de segon grau amb una incògnita

Una equació de segon grau, anomenada també equació quadràtica és una equació polinòmica on el grau més alt dels diversos monomis que la integren és 2. La seva expressió general és:

$ax^{2}+bx+c=0\$

on a ≠ 0.

Hi ha dos casos particulars que són relativament senzills de resoldre i encara que es podrien resoldre emprant el mètode del cas general el càlcul pot ser més ràpid. Aquests casos particulars són si b=0 o si c=0 ( si a=0 no és una equació de segon grau sinó de primer).

Cas c=0 fixeu-vos que el polinomi té un factor x i es pot descompondre en:

$ax^{2}+bx=\left(ax+b\right)x$

Per tant una arrel és x=0 i l’altre s'obté resolent l'equació de primer grau ax+b = 0 i per tant dóna x = -b/a

Cas b = 0 l'equació es pot transformar en

${\begin{aligned}&ax^{2}+c=0\\&ax^{2}+c-c=0-c\\&ax^{2}=-c\\&{\frac {1}{a}}\cdot ax^{2}={\frac {1}{a}}\cdot -c\\&x^{2}={\frac {-c}{a}}\\\end{aligned}}$

I si -c/a > 0 es pot tornar a transformar en:

${\begin{aligned}&x^{2}={\frac {-c}{a}}\\&{\sqrt {x^{2}}}={\sqrt {\frac {-c}{a}}}\\&x=\pm {\sqrt {\frac {-c}{a}}}\\\end{aligned}}$

Per tant les solucions són les dues arrels quadrades de -c/a si -c/a = 0 la solució és x=0 i si -c/a < 0 llavors no hi ha cap nombre real que elevat al quadrat doni -c/a i, per tant, l'equació no té solució en el conjunt dels nombres reals.

Cas general

Aquest últim cas particular dóna una pista de com es pot resoldre el cas general. Si es troba la forma de transformar l'equació en un altre que tingui a la dreta un nombre i al l'esquerra una fórmula de la que es pugui extreure l'arrel quadrada haurà quedat transformada en dues equacions de primer grau (una equació per cada arrel quadrada del nombre de la dreta).

Per començar es pot provar d'aclarir una mica l'equació transformat el polinomi en un polinomi mònic (dividint els dos cantons entre a) i passant a la dreta el terme independent (sumant als dos cantons l’oposat del terme independent):

${\begin{aligned}&ax^{2}+bx+c=0\\&ax^{2}+bx+c-c=0-c\\&ax^{2}+bx=-c\\&{\frac {1}{a}}\cdot \left(ax^{2}+bx\right)={\frac {1}{a}}\left(-c\right)\\&x^{2}+{\frac {b}{a}}x={\frac {-c}{a}}\\\end{aligned}}$

Ara es tracta de veure si sumant una constant als dos cantons del = es pot fer que la fórmula de l'esquerra sigui un quadrat perfecte. Per saber què cal sumar-li perquè ho sigui es planteja la forma que hauria de tenir una quadrat perfecte. Com que el polinomi és mònic el binomi també ha de ser-ho. Sigui d el terme independent d’aquest nou binomi:

$\left(x+d\right)^{2}=x^{2}+2dx+d^{2}$

Perquè sigui $2dx={\frac {b}{a}}x$ ha de ser $d={\frac {b}{2a}}$ i llavors només cal sumar als dos cantons del igual $d^{2}$ que és $d^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$.

Per tant sumant als dos cantons ${\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$ queda:

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}={\frac {-c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$

Ara la fórmula de l’esquerra és:

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}=\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

Per tant l'equació original es transforma en:

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {-c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$

Que operant al cantó dret queda:

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$

I si $\left(b^{2}-4ac\right)\geq 0$ es pot treure l'arrel quadrada i queda:

${\begin{aligned}&{\sqrt {\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}}}={\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\\&x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\\&x={\frac {-b}{2a}}{\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\&x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\\end{aligned}}$

En resoldre un problema concret no cal repetir tot el procés per trobar les solucions, n'hi ha prou en transformar l'equació en una D'equivalent que tingui la forma: ax²+bx+c=0 i llavors aplicar la fórmula. En tot cas cal vigilar si l'equació té dues solucions, en té una o no en té cap dins el conjunt dels nombres reals. Per fer-ho s'ha d’avaluar l’expressió $b^{2}-4ac\$, d’aquesta expressió se’n diu discriminant si és positiu l'arrel quadrada dóna dos resultats i cada un produeix una solució, si és zero l'arrel quadrada només dóna un resultat (zero) i, per tant, només hi ha una solució (de vegades es diu que és una solució doble perquè en descompondre el polinomi en polinomis irreductibles surt dos cops), si és negatiu no hi ha cap nombre real que elevat al quadrat doni un nombre negatiu i per tant no hi ha cap nombre real que sigui solució de l'equació, dins del conjunt dels nombres reals l'equació és incompatible i el polinomi és irreductible.

Per determinats problemes pot ser que les solucions negatives no tinguin sentit i llavors cal eliminar-les per consideracions relatives als objectes del món reals que s'estan modelitzant amb els objectes matemàtics.

Exemple:

Trobeu quina és la finestra quadrada més gran que es pot construir si es disposa de 30 euros, el vidre costa 3 euros el metre quadrat, el marc costa 2 euros el metre lineal i hi ha un cost fix per instal·lar la finestra de 10 euros.

Es planteja que la incògnita és la mida de la aresta del quadrat i en base a aquesta mida es calcula el cost del vidre com 3x², el del marc (2·4)x (perquè té quatre arestes iguals. La finestra més gran serà la que es pot construir en gastar-se tots els diners, por tant es planteja que la suma del cost del vidre més el del marc més el d'instal·lació sigui exactament igual als diner que es té:

$3x^{2}+\left(2\cdot 4\right)x+10=30$

Primer es transforma en una equació equivalent de la forma ax²+bx+c=0, per fer-ho es fa la operació 2·4 i es passa el 30 a l'esquerra, el resultat és:

$3x^{2}+8x-20=0\,$

Llavors s'aplica la fórmula amb a = 3, b = 8 i c = -20, resulta:

${\begin{aligned}x&={\frac {-8\pm {\sqrt {8^{2}-4\cdot 3\cdot \left(-20\right)}}}{2\cdot 3}}\\&={\frac {-8\pm {\sqrt {64+240}}}{6}}\approx \left\{{\begin{matrix}1,57\\-4,24\\\end{matrix}}\right.\end{aligned}}$

La única solució que té sentit és 1,57 metres. L'altre apareix perquè la modelització no està del tot ben feta. Tal com s'ha escrit, no s'ha parat compte que un vidre d'aresta amb longitud negativa (potser es podria interpretar com que en comptes de comprar un vidre es ven) no pot ser que tingui un cost positiu (que és el que surt al elevar al quadrat la longitud de l'aresta i multiplicar el resultat pel preu del metre quadrat de vidre).

Equacions polinòmiques amb arrels enteres.

Una equació polinòmica és aquella que és equivalent a una que té la forma d'un polinomi al cantó esquerre del igual i un zero al cantó dret. És a dir: P(x)=0

Fixeu-vos que si al l'esquerra del igual hi hagués una fracció racional l'equació resultant seria equivalent a l'equació obtinguda en igualar a zero el numerador.

Si l'equació té solucions enteres llavors el polinomi té arrels enteres per tant el procés de solucionar l'equació és equivalent al de trobar els zeros del polinomi que s'ha explicat al capítol de polinomis i en el cas d'arrels enteres es pot aplicar les mateixes tècniques.

Si el polinomi té dues arrels reals i les altres enteres un cop trobades les arrels enteres en dividir el polinomi original pels polinomis irreductibles que en són els seus factors corresponents a les arrels enters queda un polinomi de segon grau que es pot resoldre emprant la fórmula per la solució d’equacions de segona grau que s’ha explicat anteriorment.

Equacions irracionals senzilles.

S'anomenen equacions irracionals les que contenen radicals amb la variable a dins.

Si l'equació té la variable sota radicals una forma de resoldre-la és trobar-ne una d'equivalent que sigui polinòmica.(en el sentit de que totes les solucions de la nova equació també o són de la anterior encara que potser en tingui alguna de mes)

De vegades això es pot fer aïllant successivament en un cantó del igual un radical cada cop i elevant al els dos cantons de l'equació a una potència que faci desaparèixer el radical. Si la potència a que s'eleva l'equació és parell aquest procés, pels motius que s'han explicat anteriorment, pot fer aparèixer solucions que ho són de la nova equació però que no ho eren de la primera. Per tant un cop solucionada l'equació sense radicals cal provar cada una de les solucions en l'equació original per veure quines ho són i quines no.

Per exemple:

${\sqrt {2x-3}}+{\sqrt {x+7}}=4$

S’aïlla un radical

${\sqrt {2x-3}}=4-{\sqrt {x+7}}$

S'eleven al quadrat els dos cantons.

$2x-3=16+(x+7)-8{\sqrt {x+7}}$

S'ailla el radical que queda

$x-26=-8{\sqrt {x+7}}$

Es tornen a elevar al quadrat els dos cantons

$x^{2}-52x+676=64(x+7)\rightarrow x^{2}-116x+228=0\rightarrow x_{1}=2\ x_{2}=114$

Finalment es comprova quines són solucions de l'equació original i quines no:

${\begin{cases}x_{1}=2\rightarrow {\sqrt {2\cdot 2-3}}{\sqrt {2+7}}={\sqrt {1}}+{\sqrt {9}}=1+3=4\ {\mbox{és solució}}\\x_{2}=114\rightarrow {\sqrt {2\cdot 114-3}}+{\sqrt {114+7}}=15+11\neq 4\ {\mbox{no és solució}}\end{cases}}$

Sistemes d'equacions amb dues o tres incògnites.

Si una equació té més d'una incògnita, en general, és indeterminada. És a dir, hi ha infinites parelles de valors que són solucions de l'equació. Per exemple a l'equació:

$x^{2}+y^{2}=25\,$

Per a cada valor de y entre -5 i +5 es poden trobar dos valors de x que satisfan l'equació (que cada un d'ells juntament amb el valor de y formen un parella que és solució de l'equació):

$x=\pm {\sqrt {25-y^{2}}}\quad y\in \left[-5,5\right]$

Compte que no sempre una equació amb més d'una incògnita és indeterminada, per exemple l'equació x² + y² = 0 només admet una solució: la parella x=0 i y=0.

En els casos en què l'equació és indeterminada hi ha tot un conjunt de parelles de valors (o trios et cètera) que són solució de l'equació.

Es diu sistema d'equacions , un conjunt d'equacions amb la condició afegida de que les solucions ho han de ser simultàniament per a totes les equacions. Es diu solució d'un sistema d'equacions el conjunt de valors que són solució simultàniament del totes les equacions del conjunt que formen el sistema d'equacions. Si aquest conjunt és buit es diu que el sistema és incompatible si els conjunt és infinit (té infinits elements) llavors es diu que el sistema és indeterminat i si els sistema té un nombre finit d'elements (potser només un) llavors es diu que el sistema és determinat

Per exemple el sistema:

$\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=25\\x^{2}+y^{2}=0\\\end{matrix}}\right.$

És incompatible perquè el conjunt de solucions de la primera equació no conté la solució de la segona, els dos conjunts són disjunts, la intersecció és buida i per tant no hi ha cap parella de nombres reals (x, y) que sigui solució simultàniament de les dues equacions.

En canvi el sistema d'equacions:

$\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=25\\4x-3y=0\\\end{matrix}}\right.$

Té dues solucions: la parella (x = 3, y = 4) i la parella (x = -3, y = -4). Com que aquest conjunt de solucions té un nombre finit d'elements, aquest sistema d'equacions és determinat.

Tècniques per a resoldre els sistemes d'equacions

Dos sistemes d'equacions són equivalents si admeten les mateixes solucions. En essència, les diferents tècniques de resolució de sistemes d'equacions consisteixen en trobar un sistema equivalent a l'original tal que hi hagi una equació que només tingui una incògnita, un altre que només tingui la mateixa incògnita que la primera i una més i així successivament. Llavors es resol la primera equació amb les tècniques de resolució d'equacions d'una sola incògnita. El seu valor es substitueix a totes les equacions restants de forma que la que només tenia dues incògnites només en tindrà una, la que en tenia tres en tindrà dos i així. Llavors es resol la que abans en tenia dues que ja només en té una i es repeteix el procés fins que s'han trobat els valors de totes les incògnites.

Per trobar un sistema equivalent a un altre, a demés de substituir equacions individuals del sistema per altres d'equivalents es poden fer servir dues tècniques addicionals:

1. La substitució en una equació d'una variable aïllada en un altre equació.
2. Una equació es substitueix per un altre que s'obté com a resultat d'una operació entre la equació substituïda i un altre qualsevol del sistema.

Substitució en una equació d'una variable aïllada en un altre equació.

Per exemple, a partir del sistema:

$\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=25\\4x-3y=0\\\end{matrix}}\right.$

Primer s'obté un sistema equivalent substituint la segona equació per una d'equivalent en la que s'aïlla la incògnita x:

$\left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=25\\x={\frac {3}{4}}y\\\end{matrix}}\right.$

Els dos sistemes són equivalents perquè en ser la segona equació del segon sistema equivalent a la segona equació del primer té el mateix conjunt de solucions. Per tant la intersecció d'aquest conjunt amb el conjunt de solucions de la primera que és la mateixa en els dos sistemes dóna el mateix conjunt en els dos casos.

Ara se substitueix la x de la primera equació per la fórmula del cantó dret del igual de la segona:

$\left\{{\begin{matrix}\left({\frac {3}{4}}y\right)^{2}+y^{2}=25\\x={\frac {3}{4}}y\\\end{matrix}}\right.$

Fixeu-vos que ara la primera equació no és equivalent a l'anterior perquè no admet les mateixes solucions (per exemple abans y podia valdre zero i ara no). El que passa és que ara a la primera equació les úniques solucions per y són aquelles que permetran resoldre la segona equació de tal manera que el valor de x que sigui solució de la segona satisfarà la primera equació de l'anterior sistema. Per tant, encara que no totes les equacions siguin equivalents, el sistema sí que ho és. Això permet de resoldre les equacions una per una:

Primer es resol la primera equació (que ara només té una incògnita):

${\begin{aligned}&{\frac {9}{16}}y^{2}+{\frac {16}{16}}y^{2}=25\\&{\frac {9+16}{16}}y^{2}=25\\&{\frac {25}{16}}y^{2}=25\\&25y^{2}=16\times 25\\&y^{2}={\frac {16\times 25}{25}}\\&y^{2}=16\\&y=\pm 4\\\end{aligned}}$

Ara per a cada un dels dos valors de y es fa servir la segona equació per a trobar un valor de x:

${\begin{aligned}&x={\frac {3}{4}}y\\&y=4\Rightarrow x={\frac {3}{4}}4=3\\&y=-4\Rightarrow x={\frac {3}{4}}\left(-4\right)=-3\\\end{aligned}}$

Aquestes dues parelles (x=3, y=4) i (x=-3,y=-4) són les solucions del sistema original.

Una equació es substitueix per un altre que s'obté com a resultat d'una operació entre la equació substituïda i un altre equació qualsevol del sistema.

Una operació entre dues equacions vol dir trobar una tercera equació tal que la part esquerra del = s'ha obtingut fent una determinada operació amb les parts esquerres del = de les dues equacions i la part dreta del = s'ha obtingut fent la mateixa operació amb les parts dretes del = de les dues equacions. La operació pot ser qualsevol per exemple sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar una a l'altre...

Per exemple, les equacions:

${\begin{aligned}3x^{2}+x&=2y\\6x&=y^{2}\end{aligned}}$

Es poden sumar i dóna:

${\begin{aligned}\left(3x^{2}+x\right)+\left(6x\right)&=\left(2y\right)+\left(y^{2}\right)\\3x^{2}+7x&=y^{2}+2y\end{aligned}}$

Fixeu-vos que totes les solucions del sistema inicial són també solucions de l'equació resultat de la operació. Si un conjunt de valors de les variables és solució del sistema, per aquests valors, es compleixen totes les igualtats, llavors en fer qualsevol operació els resultats continuen sent iguals (sempre que la operació estigui definida, és a dir que per exemple no es divideixi entre zero).

Aquesta observació permet obtenir un nou sistema d'equacions substituint una de les equacions de la operació per la equació resultat. El nou sistema d'equacions té les mateixes solucions o més que el sistema inicial, per tant si es pot resoldre només caldrà comprovar que les solucions trobades també ho siguin del sistema inicial i descartar les que no ho siguin. Si es té un criteri per saber el nombre de solucions del sistema inicial i el nombre de solucions coincideix no cal ni fer aquesta comprovació.

Per exemple, per resoldre el següent sistema d'equacions:

${\begin{aligned}3x+4&=2y+3\\4x-1&=2y+1\end{aligned}}$

Es pot restar de la primera equació la segona i s'obté:

${\begin{aligned}\left(3x+4\right)-\left(4x-1\right)&=\left(2y+3\right)-\left(2y+1\right)\\-x+5&=4\end{aligned}}$

Ara es pot substituir la segona equació del sistema per aquesta nova equació i queda el sistema:

${\begin{aligned}3x+4&=2y+3\\-x+5&=4\end{aligned}}$

Que es pot resoldre resolent primer la última equació, substituint el valor de la varaible x a la rpimera i resolent la primera:

${\begin{aligned}x&=-\left(4-5\right)=-\left(-1\right)=1\\3\left(1\right)+4&=2y+3\\7&=2y+3\\7-3&=2y\\4&=2y\\y&={\frac {4}{2}}=2\end{aligned}}$

Per tant la solució és x=1, y=2.

Mètode del pivot o mètode de Gauss

El mètode de Gauss o mètode del pivot és un mètode per resoldre sistemes d'equacions de primer grau. Aquest mètode aplica sistemàticament la operació entre equacions del sistema per trobar el resultat. Aquesta aplicació sistemàtica fa que el mètode sigui fàcil d'implementar en un programa informàtic.

Primer cal que les equacions estiguin expressades de forma que a l'esquerra del = les incògnites apareguin totes en el mateix ordre i a la dreta del = hi aparegui el terme independent. Per exemple:

${\begin{aligned}3x+2y-1z&=4\\2x-1y+1z&=3\\1x+1y+1z&=6\end{aligned}}$

Primer es transforma la primera equació en un altre d'equivalent amb el coeficient de x =1, per aconseguir-ho només cal dividir els dos cantons del = entre el coeficient de x que en aquest exemple és 3.

El nou sistema queda:

${\begin{aligned}1x+{\frac {2}{3}}y-{\frac {1}{3}}z&={\frac {4}{3}}\\2x-1y+1z&=3\\1x+1y+1z&=6\end{aligned}}$

El següent pas és restar de la segona equació la primera multiplicada pel coeficient en x de la segona i de la tercera la primera multiplicada pel coeficient en x de la tercera. D'aquesta forma els coeficients en x de les noves equacions segona i tercera seran zero. Fixeu-vos que en aquest cas només cal que a cada coeficient de la segona equació se li resti el coeficient corresponent de la primera multiplicat per 2 i que a cada coeficient de la tercera se li resti el corresponent coeficient de la primera multiplicat per 1:

${\begin{aligned}1x+{\frac {2}{3}}y-{\frac {1}{3}}z&={\frac {4}{3}}\\\left[2-2\left(1\right)\right]x+\left[-1-2\left({\frac {2}{3}}\right)\right]y+\left[1-2\left(-{\frac {1}{3}}\right)\right]z&=\left[3-2\left({\frac {4}{3}}\right)\right]\\\left[1-1\right]x+\left[1-{\frac {2}{3}}\right]y+\left[1-\left(-{\frac {1}{3}}\right)\right]z&=\left[6-{\frac {4}{3}}\right]\end{aligned}}$

Efectuant les operacions de dins dels parèntesi el sistema queda:

${\begin{aligned}x+{\frac {2}{3}}y-{\frac {1}{3}}z&={\frac {4}{3}}\\-{\frac {7}{3}}y+{\frac {5}{3}}z&={\frac {1}{3}}\\{\frac {1}{3}}y+{\frac {4}{3}}z&={\frac {14}{3}}\end{aligned}}$

Llavors es substitueix la segona equació per un altre d'equivalent que tingui 1 com a coeficient de la variable y (es fa 1 el coeficient de la diagonal). Per aconseguir-ho només cal dividir-la per -7/3, és a dir multiplicar-la per -3/7:

${\begin{aligned}x+{\frac {2}{3}}y-{\frac {1}{3}}z&={\frac {4}{3}}\\y+-{\frac {5}{7}}z&=-{\frac {1}{7}}\\{\frac {1}{3}}y+{\frac {4}{3}}z&={\frac {14}{3}}\end{aligned}}$

El següent pas és fer zero el coeficient en y de la tercera, substituint-la per un altre obtinguda restant de la tercera la segona multiplicada pel coeficient en y de la tercera:

${\begin{aligned}x+{\frac {2}{3}}y-{\frac {1}{3}}z&={\frac {4}{3}}\\y+-{\frac {5}{7}}z&=-{\frac {1}{7}}\\\left[{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3}}\right]y+\left[{\frac {4}{3}}+{\frac {5}{21}}\right]z&=\left[{\frac {14}{3}}+{\frac {1}{21}}\right]\end{aligned}}$

Operant queda:

${\begin{aligned}x+{\frac {2}{3}}y-{\frac {1}{3}}z&={\frac {4}{3}}\\y+-{\frac {5}{7}}z&=-{\frac {1}{7}}\\{\frac {33}{21}}z&={\frac {99}{21}}\end{aligned}}$

Fent 1 el coeficient de z de la tercera, dividint-la entre 33/21, és a dir multiplicant-la per 21/33 queda:

${\begin{aligned}x+{\frac {2}{3}}y-{\frac {1}{3}}z&={\frac {4}{3}}\\y+-{\frac {5}{7}}z&=-{\frac {1}{7}}\\z&=3\end{aligned}}$

A partir d'aquí es pot resoldre trobant z de la tercera, substituint a la segona, trobant y de la segona i substituint z i y a la primera i trobant x de la primera.

Per programar-ho en un sistema informàtic i generalitzar-ho a un nombre qualsevol d'equacions i variables és més fàcil continuar fent zeros als coeficients en z de la segona i la primera, restant-los la tercera multiplicada pel coeficient de z de la segona i la primera respectivament i llavors fer zero el coeficient de y de la primera restant-li la segona multiplicada pel coeficient de y de la primera. En acabar queda un sistema en què hi ha tres equacions on cada una té només una incògnita amb coeficient 1 i per tant cada una dóna directament la solució de una de les incògnites del sistema.

Fent això en aquest exemple, s'obté successivament:

${\begin{aligned}x+{\frac {2}{3}}y+0z&={\frac {7}{3}}\\y+0z&=2\\z&=3\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x+0y+0z&=1\\y+0z&=2\\z&=3\end{aligned}}$

Classificació de les equacions i dels sistemes segons les seves solucions.

Ja s'ha explicat abans. En resum segons les seves solucions les equacions i els sistemes es poden classificat en:

1. Incompatibles: No admeten cap solució.
2. Determinats: Només admeten una solució o un nombre finit de solucions.
3. Indeterminats: Infinites solucions però no tots els valors possibles de les incògnites són solució.
4. Identitats: Tots els valors possibles de les incògnites són solució.

Exemples

Tipus	Equació	Sistema d'equacions
Incompatible	$x^{2}+1=0\$ si x és un nombre real	$\left\{{\begin{aligned}&x+y=2\\&x+y=3\\\end{aligned}}\right.$
Determinat	$x^{2}-1=0\$	$\left\{{\begin{aligned}&x+y=2\\&x+2y=3\\\end{aligned}}\right.$
Indeterminat	$x+y=4\$	$\left\{{\begin{aligned}&x+y=2\\&2x+2y=4\\\end{aligned}}\right.$
Identitat	$\left(x+y\right)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$	$\left\{{\begin{aligned}&\left(x+y\right)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\\&\left(x+y+z\right)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}+2yz+z^{2}+2xz\\\end{aligned}}\right.$

Equacions exponencials i logarítmiques senzilles.

S'anomena equació exponencial la que té alguna expressió on la incògnita és l'exponent. Per exemple:

$5^{\left(6-x^{2}\right)}={\frac {1}{125}}$

En alguns casos com aquest es poden resoldre transformant l'equació en un altre d'equivalent obtinguda calculant el logaritme als dos cantons del =.

$\log _{5}\left[5^{\left(6-x^{2}\right)}\right]=\log _{5}\left[{\frac {1}{125}}\right]$

Això permet obtenir una equació equivalent que no és exponencial i resoldre-la amb les tècniques ja conegudes:

${\begin{aligned}6-x^{2}&=-3\\6-x^{2}-6&=-3-6\\-x^{2}&=-9\\-1(-x^{2})&=-1\left(-9\right)\\x^{2}&=9\\x&=\left\{{\begin{matrix}3\\-3\\\end{matrix}}\right.\\\end{aligned}}$

S'anomena equació logarítmica la que té el logaritme d'una expressió en què hi intervé la incògnita. Per exemple:

$\log _{3}\left(x+5\right)=1$

De vegades es poden resoldre obtenint una equació equivalent a base d'elevar la base dels logaritmes als dos cantons del igual, llavors resulta una equació que no és logarítmica i es resol emprant les tècniques conegudes:

${\begin{aligned}&3^{\log _{3}\left(x+5\right)}=3^{1}\\&x+5=3\\&x=-2\\\end{aligned}}$

Annex. Resolució d'equacions pel mètode del canvi de variable

Aquesta secció no entra en el temari de l'examen però és imprescindible per entendre altres apartats que s'explicaran més endavant.

La resolució d'una equació pel mètode del canvi de variable consisteix en afegir una equació i un incògnita de forma que es té un sistema de dues equacions i dues incògnites per exemple, l'equació:

$\left(x^{2}+3x+1\right)^{2}+5\left(x^{2}+3x+1\right)-70=0$

Es pot resoldre pel mètode de canvi de variable afegint la incògnita y i l'equació:

$x^{2}+3x+1=y\,$

Això porta al sistema d'equacions:

$\left\{{\begin{matrix}x^{2}+3x+1=y\\\left(x^{2}+3x+1\right)^{2}+5\left(x^{2}+3x+1\right)-70=0\\\end{matrix}}\right.$

Que és equivalent a:

$\left\{{\begin{matrix}x^{2}+3x+1=y\\y^{2}+5y-70=0\\\end{matrix}}\right.$

i que es pot resoldre fàcilment trobant preimer y a partir de la segona equació i llavors calculant x a partir de la primera.