Matemàtiques (Prova d'accés a cicles formatius de grau superior)/Trigonometria

Trigonometria

---

Equacions         Nombres complexos

---

del llibre Matemàtiques (Prova d'accés a cicles formatius de grau superior)

La trigonometria és la branca de la geometria que estudia els triangles. Encara que sembli que els triangles són només una de les moltes figures geomètriques planes que es poden dibuixar i que les figures planes són un cas particular dels cossos a l'espai, la veritat és que a partir dels triangles es poden estudiar tots els altres polígons i a partir de la geometria a l pla es pot estudiar la geometria a l'espai i es pot estendre a més de tres dimensions.

Per això l'estudi dels triangles no és només un primer pas en el tractament d'un tema més ampli sinó que és la base i el fonament a partir del qual es desenvolupa la resta de l'estudi de la geometria.

La geometria és va desenvolupar com a eina per mesurar la terra. Des de aquest punt de vista és una part de la física en estudiar l'espai físic. Però Euclides va enfocar el seu estudi en base de separar la part experimental de la física de la part lògic-deductiva. La part experimental queda concentrada en unes afirmacions que tothom pot acceptar perquè corresponen a l'experiència. Les afirmacions que fa servir Euclides i que esmenta de forma explícita són:

1. És possible dibuixar una recta des de qualsevol punt a qualsevol altre punt.
2. És possible allargar contínuament qualsevol segment rectilini.
3. És possible descriure una circumferència amb qualsevol centre i qualsevol radi.
4. És cert que tots els angles rectes són iguals els uns als altres.
5. "Postulat de les paral·leles": És cert que, si una recta talla a dues rectes formant en un costat angles interiors menors de dos rectes, les dues rectes, si es perllonguen indefinidament, es tallen en aquest costat.

A banda d'aquestes afirmacions també en fa servir sense esmentar-les explícitament unes altres:

1. Les coses que són iguals a la mateixa cosa són també iguals l'una a l'altra.
2. Si s'afegeixen iguals a iguals, els totals són iguals.
3. Si iguals se sostrauen d'iguals, els residus són iguals.
4. Les coses que coincideixen l'una amb l'altra són iguals l'una a l'altra.
5. EL tot és més gran que la part.

Aquestes afirmacions es diuen postulats o axiomes.

A partir d'aquí demostra sistemàticament totes les altres afirmacions respecte de la geometria obtenint resultats tan complexes com el teorema de Pitàgores o el teorema del cosinus. Aquestes afirmacions que es demostren a partir dels axiomes es diuen teoremes.

Exemple 1: Si dues rectes són paral·leles i tallen a una tercera recta, els angles que formen amb aquesta tercera recta en un mateix costat sumen dos rectes. Demostració si fossin més petits pel cinquè postulat les rectes es tallarien, però hem dit que són paral·leles. Si fossin més grans , en l'altre costat serien més petits i també es tallarien, Llavors han de ser iguals.

Exemple 2: Si dues rectes són paral·leles i tallen a una tercera, els angles alterns que formen són iguals. L'angle intern d'una recta és igual a dos rectes menys l'angle intern de l'altra, però l'angle extern és iguala dos rectes menys l'angle intern, per tant l'angle extern de l'una ha de ser igual a l'angle intern de l'altre i viceversa.

Per demostrar que la suma dels angles d'un triangle és igual a 180°, es perllonga la base i es traça una paral·lela al costat AB.

Exemple 3: Els angles de qualsevol triangle sumen dos rectes. Donat un triangle com el de la figura de la dreta, llavors perllonga la base i traça una paral·lela al costat AB. Aplicant els resultats de les proposicions sobre angles de rectes que es tallen, l'angle BCD és igual a l'angle ABC i l'angle DCE és igual a l'angle BAC, per tant la suma de ACB + BCD + DCE (que és igual a l'angle pla ACE, és a dir dos rectes) també és igual a BAC + ABC + BCA que són els tres angles del triangle.

Per tant: $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }=\pi ~{\mbox{radiants}}\$

Exemple 4: Els angles d'un pentàgon regular són de 108º. S'agafa un pentàgon i des d'un vèrtex es tracen dues diagonals. El pentàgon queda dividit en tres triangles. Com que els vèrtex de cada un dels triangles mesura 180°, tots els angles del pentàgon mesuren 3* 180 = 540º i com que té cinc angles iguals, cada un ha de mesurar: 540/5 = 108º.

Fixeu-vos que a partir d'uns axiomes aparentment molt senzills i evidents es comencen a obtenir conclusions numèriques interessants. Seguint així s'arriba a conclusions com que per exemple: En un triangle rectangle de 3º si la hipotenusa mesura 1 el catet més llarg mesura:

${\frac {2(1+{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}-1)}{16}}$

El camí per arribar a aquesta conclusió és bastant llarg però ve pas a pas a partir dels axiomes d'Euclides: Primer cal demostrar: el teorema de Tolemeu, La fórmula de les funcions trigonomètriques de la dife`renica d'angles i de l'angle meitat. Emprant un triangle equilater cal trobar les funcions trigonomètriques de 30º. Llavors cal emprar el teorema de Tolemeu per trobar les funcions trigonomètriques del l'angle de 36º, les fórmules de la diferencia d'angles per trobar les funcions trigonomètriques de l'angle de 6 graus i la fórmula de les funcions trigonomètriques de l'angle meitat ja permet trobar directament les del l'angle de 3º.

Euclides fa aquest enfocament per tal de garantir que no es cometen errors en el procés. Però aquesta idea evolucionada ha resultat la base de les matemàtiques actuals.

El lligam entre les matemàtiques i l'objecte que estudien es pot donar per separat. Així els conceptes recta, punt... poden voler dir rectes i punts de l'espai físic o poden voler dir polinomis de primer grau i parelles de nombres reals. Qualsevol conclusió serà correcte en un àmbit o en un altre si en tots dos es complexen els axiomes. No cal tornar a repetir els raonaments cada vegada.

Descripció i propietats elementals de les figures planes i dels cossos elementals. Càlcul d'àrees i volums.

Figures planes

• Suma dels angles d'un triangle

Els angles se sumen desplaçant-los en l'espai fins que coincideixin els vèrtex i una de les semirectes. Llavors l'angle suma és langle definit entre les dues semirectes més externes.

La suma dels angles d'un triangle és de 2 rectes o 180° o 2·π radians. La demostració s'ha explicat a la introducció.

Àrea d’un rectangle

L'àrea de les figures planes es defineix com el nombre de vegades que contenen un quadrat que té una aresta de longitud unitat. Si la unitat de longitud de la aresta del quadrat és un metre, llavors es diu que l'àrea del quadrat unitat és el metre quadrat.

Donada una figura, quan és possible detreure superfícies unitàries, una per una, fins exhaurir-la, llavors només cal contar el nombre de vegades que es pot detreure la superfície unitat per saber quina és l'àrea de la figura original.

Aquest és el cas de les superfícies rectangulars tals que les seves arestes mesurin un nombre enter d'unitats de longitud. En aquest cas si a és l'amplada del rectangle i b és la llargada, el nombre de quadrats d’aresta longitud 1 que es pot detreure és a·b.

Si les arestes mesuren un nombre racional d'unitats de longitud, aquesta fórmula també funciona. Fixeu-vos que si les arestes mesuren, per exemple a/b i c/d respectivament, és a dir a*d/b*d i c*b/b*d, llavors el nombre de quadrats amb aresta longitud b*d que contenen és a*d*c*d i el quadrat d'aresta longitud 1 conté (b*d)² quadradets d'aresta de longitud (b*d). Per tant l'àrea del rectangle serà el nombre de quadradets d'aresta b*d que conté dividit entre el nombre de quadradets que conté el quadrat unitat, això dóna: a*c/b*d.

Si les longituds de les arestes són un nombre real, el resultat ha de ser el mateix. Si el resultat fos diferent del producte de les longituds dels costats la diferència hauria de ser diferent de zero, però llavors es podrien trobar nombres racionals prou propers al nombre real per obtenir una contradicció.

Àrea d'un triangle

Demostració gràfica de la fórmula de la superfície d'un triangle a base d'obtenir un paral·lelogram d'àrea doble.

En el cas d’un triangle l'àrea de dos triangles iguals ha de ser el doble de la del triangle original. Ajuntant dos triangles i tallant-los i reordenant-los com es mostra a la figura de la dreta es veu que l'àrea és:

A = (b⋅h)/2.

Teorema de Tales

A partir de la fórmula de l'àrea d'un triangle es pot demostrar el teorema de tales que té conseqüències molt interessants.

El teorema de Tales diu que si dues rectes paral·leles tallen altres dues que són concurrents tal com es presenta a la figura de la dreta llavors es compleix que:

${\frac {AD}{AB}}={\frac {AE}{AC}}={\frac {DE}{BC}}$

O dit en paraules, els costats del triangle petit mantenen tots la mateixa proporció respecte dels costats corresponents del triangle gran.

Per veure-ho, es traça la perpendiculars h al segment AB des del punt E i la perpendicular h' al segment AC des del punt D.

Per una banda l'àrea del triangle ADE es pot calcular de dues maneres: agafant com a base el segment AD i la altura h o a partir de la base AE i la altura h' , el resultat ha de ser el mateix en els dos casos per tant:

${\frac {AD\cdot h}{2}}={\frac {AE\cdot {h}'}{2}}$

Per altra banda, els triangles DBC i EDC tenen la mateixa àrea perquè tenen la mateixa base DE i la altura respecte d'aquesta base és la distància entre les dues rectes paral·leles (fixeu-vos que el punt clau de la demostració és que les dues rectes siguin paral·les). Però l'àrea del triangle DBC també es pot calcular a artir de la base DB i la eltura h i l'àrea del traiangle EDC a partir de la base EC i la altura h' . Per tant també ha de ser:

${\frac {DB\cdot h}{2}}={\frac {EC\cdot {h}'}{2}}$

Dividint aquestes dues equacions terme a terme s'obté:

${\begin{aligned}&{\frac {AD}{DB}}={\frac {AE}{EC}}\\&DB=AD{\frac {EC}{AE}}\\\end{aligned}}$

A partir d'aquí, tenint en compte que AB = AD + DB i AC = AE + EC operant s'obté:

${\begin{aligned}{\frac {AD}{AB}}&={\frac {AD}{AD+DB}}\\&={\frac {AD}{AD+AD{\frac {EC}{AE}}}}\\&={\frac {1}{1+{\frac {EC}{AE}}}}\\&={\frac {AE}{AE+EC}}\\&={\frac {AE}{AC}}\\\end{aligned}}$

Amb això queda demostrada la primera igualtat, per demostrar la segona es traça una paral·lela al segment AB que passa per E i que talla al segment BC al punt F. En ser EF i DB paral·leles les distàncies DE i BF són iguals a demés entre el triangels CEF i el triangle CAB s'ha de complir la mateixa igualtat que s'ha demostrat abans, per tant es té:

${\begin{aligned}&{\frac {CF}{FB}}={\frac {CE}{EA}}\\&CF=FB{\frac {CE}{EA}}\\\end{aligned}}$

Amb lo que es troba que:

${\begin{aligned}{\frac {DE}{BC}}&={\frac {DE}{DE+FB{\frac {CE}{EA}}}}\\&={\frac {DE}{DE+DE{\frac {CE}{AE}}}}\\&={\frac {1}{1+{\frac {CE}{AE}}}}\\&={\frac {AE}{AE+CE}}\\&={\frac {AE}{AC}}\\\end{aligned}}$

Existència del nombre π

Una conseqüència del teorema de Tales és que existeix el nombre π: Un nombre resultat de dividir la longitud d'una circumferència qualsevol entre el seu diàmetre. Fixeu-vos que per a qualsevol circumferència sempre es poden mesurar la seva longitud i el seu diàmetre i dividir-los. La qüestió és: el resultat serà el mateix per a qualsevol circumferència? En cas afirmatiu es pot parlar un nombre determinat independentment del diàmetre de la circumferència.

El resultat de dividir la longitud d'una circumferència entre el diàmetre ha de ser el mateix que el de dividir la longitud d'una semicircumferència entre la meitat del diàmetre (el radi). Una semicircumferència es pot aproximar per la meitat d'un polígon regular d'un determinat nombre de costats. Cada un d'aquests costats, amb els segments que van del centre fins als vèrtex formen un triangle. A cada un d'aquests triangles se'ls pot aplicar el teorema de Tales respecte d'altres triangles semblants més grans o més petits i el quocient entre la longitud del costat que coincideix amb el costat del polígon i la longitud del costat que coincideix amb el radi ha de ser sempre la mateixa. Per tant també ho ha de ser la suma de tots aquests quocients. Però la suma de tots aquests quocients és el quocient entre el semiperímetre del poliedre i el radi de la circumferència. Si això és així per un polígon regular amb qualsevol nombre de costats també ho ha de ser per la circumferència, si no ho fos hi hauria un parell de circumferències que donarien resultats diferents i la diferència entre els resultats serina un nombre determinat però sempre es podria trobar un polígon regular amb un nombre de costats prou gran que es diferencii de la circumferència menys que aquest nombre lo que seria una contradicció.

Àrea d'un polígon regular

Tot polígon regular de n costats es pot dividir en n triangles traçant segments entre el centre i els vèrtex. L'àrea de cada un d’aquests triangles és:

${\frac {a\cdot l}{2}}$

On a és la distància entre el centre i el costat, anomenada apotema i l és la logitud del costat. Per tant l’àrea del del polígon és:

$A={\frac {a\cdot l\cdot n}{2}}$

I tenint en compte que la suma de les longituds dels costats és el perímetre p, resulta:

$A={\frac {a\cdot p}{2}}$

Àrea d'un cercle

Es pot pensar que un cercle és un polígon regular d'infinits costats i plantejar que ha de complir la mateixa fórmula que qualsevol polígon regular. Com que el perímetre de la cicumferència que limita el cecle és 2·π·r, ha de ser:

$A={\frac {2{\cdot }\pi {\cdot }r{\cdot }r}{2}}$

Per tant:

$A=\pi {\cdot }r^{2}$

Teorema de Pitàgores

Teorema de Pitàgores pel cas particular del triangles isòsceles

El teorema de Pitàgores estableix que en un triangle rectangle la suma dels quadrats dels catets (els costats que formen l'angle recte) és igual al quadrat de la hipotenusa (l'altre costat).

Expressat matemàticament;

a² + b² = c²

Pel cas del triangle rectangle isòsceles, observant la figura de la dreta es veu que l'àrea del triangle blau és doble que la del triangle vermell (fixeu-vos que la meitat del triangle vermell és la quarta part del blau)per tant:

$c^{2}=2a^{2}=a^{2}+a^{2}\,$

En el cas general es pot veure comprovant que els següents quadrats queden completament plens:

Fixeu-vos que al quadrat de la dreta la garantia de que no hi ha "forats" prové del fet que la suma dels tres angles d'un triangle són 180°.

L'àrea del quadrat de l'esquerra és la suma de les àrees dels quadrats dels catets més quatre vegades l'àrea del triangle i l'àrea del quadrat de la dreta és l'àrea del quadrat de la hipotenusa més quatre vegades l'àrea del triangle. Com que els dos quadrats són iguals, s'ha de complir el teorema de Pitàgores.

Cossos elementals

Volum d'un prisma

El volum dels cossos a l'espai es defineix com el nombre de vegades que contenen un cub que té una aresta de longitud unitat. Si la unitat de longitud de la aresta del cub és un metre, llavors es diu que el volum del cub unitat és el metre cúbic.

Donat un cos, quan és possible detreure volums unitaris, un per un, fins exhaurir-lo, llavors només cal contar el nombre de vegades que es pot detreure el volum unitat per saber quin és el volum del cos original.

Aquest és el cas dels volums prismàtics tals que les seves arestes mesurin un nombre enter d'unitats de longitud. En aquest cas si a és l'amplada del prisma i b és la seva llargada, i c és la seva alçada, el nombre de cubs d’aresta longitud 1 que es pot detreure és a·b·c.

Si les arestes mesuren un nombre racional d'unitats de longitud, aquesta fórmula també funciona. Fixeu-vos que si les arestes mesuren, per exemple a/b, c/d i e/f respectivament, és a dir a*d*f/b*d*f, c*a*f/b*d*f i e*b*d/b*d*f, llavors el nombre de quadrats amb aresta longitud b*d*f que contenen és a*d*f * c*a*f * e*b*d i el cub d'aresta longitud 1 conté (b*d*f)³ petits prismes d'aresta de longitud (b*d*f). Per tant l'àrea del prisma serà el nombre de petits prismes d'aresta b*d*f que conté dividit entre el nombre de petits prismes que conté el cub unitat, això dóna: (a*c*e)/(b*d*f).

Si les longituds de les arestes són un nombre real, el resultat ha de ser el mateix. Si el resultat fos diferent del producte de les longituds dels costats la diferència hauria de ser diferent de zero, però llavors es podrien trobar nombres racionals prou propers al nombre real per obtenir una contradicció.

Volum d'una piràmide de base triangular

Piramide partida en dues piràmides semblants d'arestes de longitud meitat (verda i vermella), un prisma de base triangular (blau) i un semiprisma de base un quadrilàter (negre).

Si una piràmide donada té una volum V, llavors una piràmide semblant d'aresta ½ ha de tenir un volum 1/8V.

Tota piràmide de base triangular es pot dividir de la forma que s'indica en el dibuix: es divideixen totes les arestes per la meitat i es formen les dues piràmides més petites, la verda i la vermella que són semblants a l'original però d'aresta ½, el prisma blau té una base triangular amb una àrea igual a una quarta part de la base de la piràmide original (fixeu-vos que la base de la piràmide original queda dividida en quatre triangles iguals) i una alçada igual a la meitat de la alçada de la piràmide. La figura negra es pot considerar un prisma de base igual a la meitat de la de la piràmide (fixeu-vos que abasta dos dels quatre triangles iguals) i alçada la meitat de la de la piràmide, però partit per la meitat.

El volum de la piràmide és igual a la suma dels volums de les dues piràmides petites més el del prisma blau i el del semiprisma negre. Si A és l'àrea de la base de la piràmide original i h la seva alçada, ha de ser:

$V={\frac {1}{8}}V+{\frac {1}{8}}V+{\frac {A}{4}}\cdot {\frac {h}{2}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {A}{2}}\cdot {\frac {h}{2}}$

Operant i aïllant V a partir d'aquesta equació resulta:

$V={\frac {2}{8}}V+{\frac {A\cdot h}{8}}+{\frac {A\cdot h}{8}}$

$V={\frac {1}{4}}V+{\frac {2\cdot A\cdot h}{8}}$

$V-{\frac {1}{4}}V={\frac {A\cdot h}{4}}$

${\frac {3}{4}}V={\frac {A\cdot h}{4}}$

$V={\frac {A\cdot h}{3}}$

Volum d'una piràmide de base un polígon qualsevol

Fixeu-vos que si en una piràmide de base qualsevol es divideix la seva base en un determinat nombre de triangles, traçant superfícies definides entre els costats d'aquests triangles i el vèrtex es té dividida la piràmide entre tantes petites piràmides com triangles s'ha dividit la base. Llavors el volum de la piràmide serà la suma dels volums de les petits piràmides, pero com que totes tenen la mateixa altura a la fórmula es pot treure factor comú de la altura i queda el producte de la suma de les àrees de cada un dels triangles per la altura dividit entre 3. Però la suma de les àrees dels triangles en que s'ha dividit la base és l'àrea de la base, per tant per a una piràmide de base qualsevol també es té:

$V={\frac {A\cdot h}{3}}$

On A és l'àrea de la base.

Volum d'un con

Com que un con es pot considerar una piràmide de base un cercle el seu volum es calcularà amb la mateixa fórmula substituint l'àrea de la base per la fórmula del àrea del cercle que s'ha trobat abans:

$V={\frac {\pi {\cdot }r^{2}\cdot h}{3}}$

On r és el radi del cercle de la base del con.

Volum d’una esfera

El volum d'una esfera es pot calcular emprant les eines que proporciona el càlcul infinitesimal que s'estudiarà més endavant en aquest llibre. Però hi ha un mètode per determinar-la que és força interessant i ajuda a entendre desprès concepte del càlcul infinitesimal.

Primer cal entendre que si donats des cossos i donat un determinat pla, resulta que en tallar-los per qualsevol pla paral·lel al pla donat, la superfície dels talls són iguals, llavors els volums dels dos cossos han de ser iguals. Fixeu-vos que qualsevol cos es pot aproximar per volums formats pels talls fets per un nombre finit de plans paral·lels i considerant que entre pla i pla la secció és constant. En aquestes aproximacions el volum del cos entre pla i pla és l'àrea del tall per la distància entre plans i per tant en aquestes aproximacions es compleix la afirmació. Però en un cos qualsevol també s'ha de complir, altrament es podria arribar a una contradicció en acceptar una diferència finita i en trobar aproximacions que fitin la diferència per davall d'aquest valor.

Es considera un cos compost per dos bocins separats: Una esfera de radi R i un doble con de radi de la base R, a la figura de davall es representen a l'esquerra la secció d'aquestes dos bocins del cos en qüestió. Per altra banda es considera un cos amb forma cilíndrica amb radi de la base R i altura 2R. A la part dreta de la figura es representa una secció d'aquest cos cilíndric.

Si es tallen aquests objectes per un pla situat a una altura h com el que es mostra per la línia de punts resulta que:

1. El tall de l'esfera dóna un cercle de radi r_esf.
2. El tall del con dóna un cercle de radi r_con. Però observant la figura i aplicant el teorema de tales resulta que r_con = h.
3. El tall del cilindre dóna un cercle de radi r_cil. Qués és sempre igual a R

Observant l'esfera i aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle format per R, r_esf i h resulta:

$h^{2}+r_{esf}^{2}=R^{2}$

Substituint h i R pel radi del con i del cilindre respectivament queda:

$r_{con}^{2}+r_{esf}^{2}=r_{cil}^{2}\,$

Multiplicant per pi als dos cantons del igual resulta:

${\begin{aligned}&\pi r_{con}^{2}+\pi r_{esf}^{2}=\pi r_{cil}^{2}\\&S_{con}+S_{esf}=S_{cil}\\\end{aligned}}$

Com que això és cert per a qualsevol valor de h, pel que s'ha explicat abans, la suma del volum de l'esfera més el del con ha de ser igual al del cilindre:

$V_{con}+V_{esf}=V_{cil}\,$

EL volum del con es pot calcular amb la fórmula que s'ha trobat abans, tenint en compte que es tracta d'un doble con d'alçada R i radi de la base R. El volum del cilindre també es pot calcular a partir de les fórmules anteriors tenint en compte que es tracta d'un cilindre de radi de la base R i altura 2R. Substituint les expressions dels volums d'aquests dos cossos i operant s'obté:

${\begin{aligned}&2\cdot {\frac {\pi \cdot R^{2}\cdot R}{3}}+V_{esf}=\pi \cdot R^{2}\cdot \left(2R\right)\\&{\frac {2}{3}}\pi R^{3}+V_{esf}=2\pi \cdot R^{3}\\&V_{esf}=2\pi \cdot R^{3}-{\frac {2}{3}}\pi R^{3}\\&V_{esf}=\left(2-{\frac {2}{3}}\right)\pi R^{3}\\&V_{esf}=\left({\frac {6}{3}}-{\frac {2}{3}}\right)\pi R^{3}\\&V_{esf}={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\\\end{aligned}}$

Mesures d'angles. Unitats.

Angle com a regió del pla compresa entre dues semirectes

Un angle es defineix a partir de dues semirectes que tenen l'extrem comú, anomenat vèrtex.

Una forma de definir l'angle a partir d'aquestes dues semirectes és identificar-lo amb la regió del pla compresa entre les dues. Com que dues semirectes divideixen el pla en dues regions, cal dir a quina de les dues es refereix l'angle. Això es fa dibuixant un arc de circumferència que les uneix per la regió on es vol assignar l'angle.

Si es fa servir aquesta definició cal afegir que dos angles són iguals si es poden superposar traslladant-los fins que els vèrtex coincideixin i girant-ne un entorn al vèrtex.

Aquesta definició té l'inconvenient de que l'angle més gran és quan les dues semirectes abasten tot el pla i no hi ha angles negatius.

Angle com a rotació, positiu (esquerra) i negatiu (dreta)

Una altra forma de definir l'angle és definir-lo com la rotació que cal fer a una de les dues semirectes perquè se superposi amb l'altre i assignar com a positiu un dels sentits de rotació, el contrari al de les agulles del rellotge. Amb aquesta definició si el gir pot ser de més d'una volta i també pot ser negatiu si es fa en el mateix sentit de les agulles del rellotge. Per indicar en quin sentit es fa la rotació l'arc entre les dues semirectes es dibuixa amb punta de fletxa.

Els angles es mesuren en base a la magnitud de la rotació que cal aplicar a una de les semirectes perquè coincideixi amb l'altra. Hi ha dues maneres “naturals” per mesurar una rotació, una és la fracció d'una volta sencera que representa la rotació que s'està mesurant, i l'altre és mesurant la longitud de l'arc i dividir-la entre el radi.

Aquestes dues maneres, corresponen a les unitats mes freqüentment utilitzades per a mesurar angles:

• El radian, que és un angle central del qual mesura el mateix, el radi, que l'arc que l'acopsa. Un radian= 180/πº que és més o menys uns 57,29577951º.
• El grau sexagesimal és l'altra unitat que normalment s'utilitza. És una 360ena part d'una volta. I és igual a π/180 radiants que és més o menys uns 0,0174533 radians.

La mesura d'angles fent servir radians, simplifica les expressions de les identitats trigonomètriques i les equacions de la física, però, perquè estigui ben definida, cal demostrar primer, que el resultat de mesurar un angle, és independent del radi que es faci servir per a mesurar l'arc, altrament, el mateix angle donaria diferents mesures, depenent del radi de l'arc. Per demostrar aquesta independència, cal fer servir el teorema de Tales i aproximar l'arc per infinites cordes el procés és completament similar al que s'ha fet servir per demostrar que existeix el nombre pi.

A demés d'aquestes unitats n'hi ha d'altres:

• La volta (o revolució), correspon a una volta sencera, equival a 2π radians o 360°. Es fa servir principalment en la mesura de velocitats angulars (voltes per minut o revolucions per minut).
• L' angle recte, correspon a un quart de volta, es fa servir en expressions com: la suma dels angles d'un triangle és igual a dos rectes. Equival a 90° o π/2 radians,
• El grau centesimal és la centèsima part d'un recte o la 400ena part d'una volta.

En funció de la seva mesura els angles es classifiquen en: Aguts (més petits que un recte), rectes (igual a un recte), obtusos (més grans que un recte), plans (igual a dos rectes).

Raons trigonomètriques d'un angle agut.

Un triangle rectangle té sempre un angle de 90° (π/2 radians), aquí el C. Els angles A i B poden variar. Les funcions trigonomètriques especifiquen les relacions entre les longituds dels costats els angles interiors d'un triangle rectangle.

Per tal de definir les funcions trigonomètriques de l'angle A, es comença amb un triangle rectangle arbitrari que contingui l'angle A:

Es fan servir els següents noms pels costats del triangle:

• La hipotenusa és el costat oposat a l'angle recte, o també es pot definir com el costat més llarg del triangle rectangle, en aquest cas h.
• El catet oposat és el costat oposat a l'angle que es pretén estudiar, en aquest cas a.
• El catet adjacent és el costat que està en contacte amb l'angle que s'està estudiant i l'angle recte. En aquest cas el catet adjacent és b.

Fixeu-vos que les següents definicions, parlant estrictament, només defineixen les funcions trigonomètriques per angles dins de l'interval entre zero i π/2 radians (o entre 0° i 90°). S'estenen al conjunt sencer dels nombres reals a base de fer servir la circumferència goniomètrica que s'explicarà més endavant.

Nom	Definició	Exemple
Sinus	$\sin A={\frac {\textrm {oposat}}{\textrm {hipotenusa}}}$	${\frac {a}{h}}$
Cosinus	$\cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hipotenusa}}}$	${\frac {b}{h}}$
Tangent	$\tan A={\frac {\textrm {oposat}}{\textrm {adjacent}}}$	${\frac {a}{b}}$
Cosecant	$\csc A={\frac {\textrm {hipotenusa}}{\textrm {oposat}}}$	${\frac {h}{a}}$
Secant	$\sec A={\frac {\textrm {hipotenusa}}{\textrm {adjacent}}}$	${\frac {h}{b}}$
Cotangent	$\cot A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {oposat}}}$	${\frac {b}{a}}$

Relacions fonamentals entre les raons trigonomètriques.

Relacions que resulten de la definició i del teorema de Pitàgores

A partir de les definicions es pot observar que les funcions cosecant secant i cotangent són les inverses multiplicatives de les funcions sinus, cosinus i tangent respectivament. És a dir:

${\begin{aligned}&\csc A={\tfrac {hipotenusa}{oposat}}={\frac {1}{\frac {oposat}{hipotenusa}}}={\frac {1}{\sin A}}\\&\sec A={\tfrac {hipotenusa}{adjacent}}={\frac {1}{\frac {adjacent}{hipotenusa}}}={\frac {1}{\cos A}}\\&\cot A={\tfrac {adjacent}{oposat}}={\frac {1}{\frac {oposat}{adjacent}}}={\frac {1}{\tan A}}\\\end{aligned}}$

A demés també es pot observar que la tangent es pot calcular dividint el sinus entre el cosinus:

${\frac {\sin A}{\cos A}}={\frac {\frac {oposat}{hipotenusa}}{\frac {adjacent}{hipotenusa}}}={\frac {oposat}{hipotenusa}}\cdot {\frac {hipotenusa}{adjacent}}={\frac {oposat}{adjacent}}=\tan A$

Aplicant el teorema de pitàgores al triangle emprat per definir les relacions trigonomètriques s'obté:

$hipotenusa^{2}=oposat^{2}+adjacent^{2}\$

Dividint els dos cantons de la igualtat entre la hipotenusa al quadrat surt:

${\frac {hipotenusa^{2}}{hipotenusa^{2}}}={\frac {oposat^{2}+adjacent^{2}}{hipotenusa^{2}}}$

I operant resulta:

${\begin{aligned}1={\frac {hipotenusa^{2}}{hipotenusa^{2}}}&={\frac {oposat^{2}+adjacent^{2}}{hipotenusa^{2}}}=\\&={\frac {oposat^{2}}{hipotenusa^{2}}}+{\frac {adjacent^{2}}{hipotenusa^{2}}}=\\&=\left({\frac {oposat}{hipotenusa}}\right)^{2}+\left({\frac {adjacent}{hipotenusa}}\right)^{2}\\&=\left(\sin A\right)^{2}+\left(\cos A\right)^{2}\\&=\sin ^{2}A+\cos ^{2}A\end{aligned}}$

Per tant es verifica la identitat:

$1=\sin ^{2}A+\cos ^{2}A\$

Aquesta identitat permet calcular els sinus a partir del cosinus o viceversa i les anterior permeten calcular la tangent a partir del sinus i el cosinus u la secant, cosecant i cotangent a partir del sinus cosinus i tangent o vceversa. Per tant coneguda una de les funcions trigonomètriques es poden calcular les altres cinc. EN la següent taua es resumeixen les fórmules que en resulten:

	Funció	sin	cos	tan	csc	sec	cot
$\sin \theta =$	$\sin \theta \$	${\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$	${\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\csc \theta }}$	${\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}$	${\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\cos \theta =$	${\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$	$\cos \theta \$	${\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}$	${\frac {1}{\sec \theta }}$	${\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\tan \theta =$	${\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}$	$\tan \theta \$	${\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	${\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}$	${\frac {1}{\cot \theta }}$
$\csc \theta =$	${1 \over \sin \theta }$	${1 \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }} \over \tan \theta }$	$\csc \theta \$	${\sec \theta \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}$
$\sec \theta =$	${1 \over {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${1 \over \cos \theta }$	${\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}$	${\csc \theta \over {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	$\sec \theta \$	${{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }} \over \cot \theta }$
$\cot \theta =$	${{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }} \over \sin \theta }$	${\cos \theta \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${1 \over \tan \theta }$	${\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}$	${1 \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\cot \theta \$

Relacions de la suma d'angles, angle doble i angle mitat

Identitats de la suma d'angles

Il·lustració de la fórmula de la suma d'angles.

Es dibuixen els angles α i β i se situa el punt P sobre la línia definida per α + β a una distància unitat de l'origen.

Es traça PQ, perpendicular a la línea definida per l'angle α que passa per P;.

OQP és un triangle rectangle.

Sia QA la perpendicular des de Q a l'eix x, i sia PB la perpendicular des de P a l'eix x.

OAQ és un triangle rectangle.

Es dibuixa QR paral·lela a l'eix x.

Resulta que l'angle RPQ = α donat que PB és perpendicular a l'eix x i PQ és perpendicular a la recta que es talla amb l'eix x formant l'angle α.

A partir d'aquesta construcció resulta:

$OP=1\,$

$PQ=\sin \beta \,$

$OQ=\cos \beta \,$

${\frac {AQ}{OQ}}=\sin \alpha \,$, així $AQ=\sin \alpha \cos \beta \,$

${\frac {PR}{PQ}}=\cos \alpha \,$, així $PR=\cos \alpha \sin \beta \,$

$\sin(\alpha +\beta )=PB=RB+PR=AQ+PR=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \,$

Que és la identitat del sinus de la suma de dos angles.

A partir del dibuix, el cosinus de α+β és:

$\cos \left(\alpha +\beta \right)=OA-BA$

Però OA és:

$OA=OQ\cos \left(\alpha \right)$

I com que OQ es:

$OQ=\cos \left(\beta \right)$

Substituint resulta que:

$OA=\cos \left(\beta \right)\cos \left(\alpha \right)$

Per altra banda BA és:

${\begin{aligned}&BA=RQ\\&RQ=PQ\sin(\alpha )\\\end{aligned}}$

I com que PQ és:

$PQ=\sin \left(\beta \right)$

Substituint resulta:

$BA=\sin \left(\beta \right)\sin \left(\alpha \right)$

Substituint tot queda:

$\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \left(\beta \right)\cos \left(\alpha \right)-\sin \left(\beta \right)\sin \left(\alpha \right)$

Que és la identitat del cosinus de la suma de dos angles

A partir de les fórmules del sinus i del cosinus es té

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\,$

$={\frac {\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }}\,$

Dividint numerador i denominador entre (cos α cos β), es té

$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}\,$

Per altra banda, dividint entre (sin α sin β), es té

$\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}\,$

Que són les identitats de la tangent i cotangent de la suma de dos angles

Identitats de la resta d'angles '

Aplicant les fórmules de la suma a angles negatius s'obtenen directament les fórmules de la resta:

${\begin{aligned}\sin \left(\alpha -\beta \right)&=\sin \left(\alpha \right)\cos \left(-\beta \right)+\cos \left(\alpha \right)\sin \left(-\beta \right)\\&=\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\beta \right)-\cos \left(\alpha \right)\sin \left(\beta \right)\\\end{aligned}}$

i

${\begin{aligned}c\cos \left(\alpha -\beta \right)&=\cos \left(\alpha \right)\cos \left(-\beta \right)-\sin \left(\alpha \right)\sin \left(-\beta \right)\\&=\cos \left(\alpha \right)\cos \left(\beta \right)+\sin \left(\alpha \right)\sin \left(\beta \right)\\\end{aligned}}$

Identitats de l'angle doble

A partir de les identitats de la suma es té:

$\sin \left(2\alpha \right)=\sin \left(\alpha +\alpha \right)=\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\alpha \right)+\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\alpha \right)=2\sin \left(\alpha \right)\cos \left(\alpha \right)$

i

$\cos \left(2\alpha \right)=\cos \left(\alpha +\alpha \right)=\cos \left(\alpha \right)\cos \left(\alpha \right)-\sin \left(\alpha \right)\sin \left(\alpha \right)=\cos ^{2}\left(\alpha \right)-\sin ^{2}\left(\alpha \right)$

Aplicant-hi les identitats pitagòriques s'obtenen les següents formes alternatives d'aquestes identitats:

$\cos(2\theta )=2\cos ^{2}\theta -1\,$

$\cos(2\theta )=1-2\sin ^{2}\theta \,$

Aplicant la mateixa tècnica a les fórmules de la tangent i de la cotangent es té:

$\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}={\frac {2}{\cot \theta -\tan \theta }}\,$

$\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}={\frac {\cot \theta -\tan \theta }{2}}\,$

Identitats de l'angle meitat

Com que θ és el doble de θ/2 aplicant les fórmules de l'angle doble a θ es té:

${\begin{aligned}&\cos \theta =2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}-1\\&\cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\\\end{aligned}}$

Aïllant d'aquí el sinus i el cosinus surt:

$\cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}},\,$

$\sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}.\,$

Cal triar els signes adequadament—fixeu-vos que si s'afegeix 2π a θ les quantitats de dins de les arrels quadrades no varien, però els signes del cantó esquerra de les equacions canvia. Per tant el signe correcte que s'ha de utilitzar depèn del valor de θ.

Pel cas de la tangent, dividint la fórmula del sinus entra la del cosinus resulta:

$\tan {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}.\,$

Multiplicant en numerador i el denominador de dins de l'arrel quadrada per (1 + cos θ), i aplicant la identitat pitagòrica al numerador resulta:

$\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}.\,$

Si en canvi es multipliquen numerador i denominador de dins de la arrel quadrada per (1 - cos θ) i s'aplica la identitat pitagòrica al denominador es té

$\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}.\,$

Dividint cada un dels termes del numerador pel denominador es té

$\tan {\frac {\theta }{2}}=\csc \theta -\cot \theta .\,$

Igualment amb la cotangent s'obté

$\cot {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta .\,$

Raons trigonomètriques d'angles. Circumferència goniomètrica.

El sinus i el cosinus d'un angle t es defineixen respectivament com el valor de la coordenada y i la coordenada x del punt on la circumferència de radi unitat interseca el radi girat un angle t respecte de l'eix x positiu.

La circumferència goniomètrica.

Les sis funcions trigonomètriques també es poden definir en base la circumferència goniomètrica: la circumferència de radi unitat en el centre de la qual es tallen dues rectes perpendiculars entre si, una horitzontal anomenada eix x i l'altra vertical anomenada eix y. La definició basada en la circumferència goniomètrica, permet la definició de les funcions trigonomètriques per a tots els arguments reals, tant positius com negatius, no només per a angles entre 0 i π/2 radiants. També dóna una imatge visual única que conté de cop tots els angles rellevants.

Observant la figura de la dreta. Sia una segment de línia recta que va de l'origen fins a la circumferència goniomètrica i forma un angle positiu t amb la meitat positiva de l'eix x. Les coordenades x i y són les distàncies que resulten de traçar una perpendicular que passa pel punt fins a l'eix x e y respectivament. Aquestes distàncies són, respectivament, el cos t i el sin t. Traçant una perpendicular a l'eix x que passi per l'extrem del segment s'obté un triangle rectangle format pel segment, aquesta perpendicular i l'eix x. Aquest triangle rectangle permet comprovar que pels angles del primer quadrant la definició coincideix amb la definició basada en el triangle rectangle. Com que el radi del cercle és igual a la hipotenusa i té longitud 1, resulta que sin θ = y/1 i cos θ = x/1. La circumferència goniomètrica, es pot entendre com una forma de representar un nombre infinit de triangles rectangles, en els que varien les longituds dels catets, però que la longitud de la hipotenusa es conserva constant igual a 1.

Per angles més grans que π/2 i més petits que π la coordenada x del punt passa a ser negativa i la coordenada y és la mateixa que la del triangle obtingut per simetria especular respecte de l'eix vertical, per tant per quest àngles la definició en base a la circumferència goniomètrica és el mateix que estendre la definició en base al triangle rectangle imposant les següents identitats:

${\begin{aligned}&\sin \left(\pi -\theta \right)=-\sin \left(\theta \right)\\&\cos \left(\pi -\theta \right)=\cos \left(\theta \right)\\\end{aligned}}$

Seguint el mateix raonament amb simetries respecte de l'eix horitzontal resulta que entre π i 3π/2 el sinus també esdevé negatiu i la definició en base a la circumferència goniomètrica és equivalent a estendre la definició en base al triangle rectangle amb les següents imposicions:

${\begin{aligned}&\sin \left(\pi +\theta \right)=-\sin \left(\theta \right)\\&\cos \left(\pi +\theta \right)=-\cos \left(\theta \right)\\\end{aligned}}$

I al tercer quadrant (és a dir entre 3π/2 i 2π):

${\begin{aligned}&\sin \left(2\pi -\theta \right)=\sin \left(\theta \right)\\&\cos \left(2\pi -\theta \right)=-\cos \left(\theta \right)\\\end{aligned}}$

Per angles més grans que 2π o més petits que −2π, senzillament es continua girant al voltant del cercle. D'aquesta forma, el sinus i el cosinus esdevenen funcions periòdiques amb període 2π:

$\sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)$

$\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right)$

Per a qualsevol angle θ i qualsevol Nombre enter k.

Resolució de triangles rectangles i no rectangles.

Tot triangle té tres costats i tres angles, però no calen les sis dades per tenir completament determinat el triangle, per exemple amb les longituds dels tres costats n'hi ha prou. S'anomena resoldre un triangle al procés de trobar els elements que manquen (longituds dels costats o mesura dels angles) a partir dels elements coneguts.

De vegades també es considera dins del problema de resolució d'un triangle la determinació d'altres dades relatives al triangle com per exemple la seva superfície. Un cop resolt el triangle en el sentit de determinar les longituds dels tres costats i les magnituds dels tres angles el fet de calcular aquestes altres dades és relativament immediat.

Per resoldre un triangle en el cas general és molt practic emprar el teorema del cosinus, el teorema del sinus i el teorema de la tangent.

Teorema del sinus

El teorema del sinus afirma que en un triangle qualsevol en el pla. Si els costats són a, b i c i els angles oposats a aquests costats són A, B i C, llavors:

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}={\frac {abc}{2A}}$

On A és l'àrea del triangle

Demostració:

Es dibuixa un triangle amb costats a, b, i c, i angles A, B, i C. Es traça la perpendicular al costat c que passa pel vèrtex de l'angle C; per definició divideix el triangle original en dos triangles rectangles. Si la longitud sobre aquest segment és h.

Es pot observar que:

$\sin A={\frac {h}{b}}{\text{ i }}\sin B={\frac {h}{a}}.$

Per tant

$h=b\,(\sin A)=a\,(\sin B)$

i

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}.$

Fent el mateix amb la perpendicular traçada al costat a que passa pel vèrtex de l'angle A s'obté:

${\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.$

Demostració completa:

Es dibuixa un triangle ABC de costats a, b, c i l'angle γ a C. Es troba el centre S de la circumferència circumscrita. Com que la circumferència passa pels tres vèrtex, n'hi ha prou en trobar el punt d'intersecció entre les mediatrius de dos costats qualsevulla del triangle (com que cada mediatriu és el lloc geomètric dels punts equidistants als dos extrems del costat, el punt on es tallen dues mediatrius és l'únic punt equidistant als tres vèrtex). El costat c talla la circumferència k amb centre a S en dos arcs, l'arc on es troba el vèrtex C és l'arc capaç que veu el segment |AB| (és a dir el costat d del triangle) amb un angle γ i per tant el centre d'aquest arc veu el costat c amb un angle 2*γ.

Per tant es pot observar que:

$\sin \gamma ={\frac {\frac {c}{2}}{r}}={\frac {c}{2r}},$

I d'aquí

${\frac {c}{\sin \gamma }}=2r\quad \left(\sin \gamma ={\frac {c}{2r}}\right)$

Com que l'alçada del vèrtex B respecte de la base b és $a\sin(\gamma )$, l'àrea del triangle és:

${\text{Area}}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}ab{\frac {c}{2r}}$

D'aquí es dedueix que:

${2r}={\frac {abc}{2{\text{Area}}}}.$

Repetint el mateix procés pels angles α i β:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={2r}={\frac {abc}{2{\text{Area}}}}.$

Teorema del cosinus

Fig. 1 - Un triangle.

El teorema del cosinus relaciona les longituds dels costats d'un triangle amb el cosinus d'un dels seus angles. Emprant la notació referida a la Figura 1, el teorema del cosinus estableix que

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ),\,$

O, de forma equivalent:

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos(\beta ),\,$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha ).\,$

Fixeu-vos que c és el costat oposat a l'angle γ, i que a i b són els dos costats que formen l'angle γ. Totes tres identitats diuen el mateix; només es presenten separadament perquè al resoldre triangles amb tres costats donats s'ha d'aplicar la identitat tres cops permutant el paper dels tres costats.

El teorema del cosinus generalitza el teorema de Pitàgores, el qual només es compleix pel cas de triangles rectangles: si l'angle γ és una angle recte (mesura 90° o $\scriptstyle \pi /2$ radiants), llavors $\scriptstyle \cos(\gamma )\,=\,0$, i per tant el teorema del cosinus es redueix a

$c^{2}=a^{2}+b^{2}\,$

que és el teorema de Pitàgores.

Demostració

Fig. 4 – Un triangle acutangle amb una perpendicular

Es traça la perpendicular al costat c i es té (vegeu Fig. 4)

$c=a\cos(\beta )+b\cos(\alpha )\,.$

(Això continua sent cert si α o β són obtusos, en aquest cas la perpendicular cau fora del triangle.) Multiplicant als dos cantons per c es té

$c^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )\,.$

Repetint el mateix amb les altres perpendiculars s'obté

$a^{2}=ac\cos(\beta )+ab\cos(\gamma )\,,$

$b^{2}=bc\cos(\alpha )+ab\cos(\gamma )\,.$

Sumant les últimes dues dóna

$a^{2}+b^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )+2ab\cos(\gamma )\,$

Reordenant s'obté

$ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\,$

Substituint aquest resultat a la primera equació per obtenir $c^{2}$ dóna el teorema del cosinus

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\,.$

Teorema de la tangent

El teorema de la tangent relaciona les longituds dels tres costats d'un triangle i les tangents dels seus angles.

A la Figura, a, b, i c són les longituds dels tres costats del triangle, i α, β, i γ són els angles oposats a aquestes tres cares respectivament. El teorema de la tangent estableix que

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.$

Tot i que el teorema de la tangent no és tan conegut com el teorema del sinus o el teorema del cosinus, és exactament igual d'útil, i es pot fer servir en qualsevol dels casos on es coneixen dos costats i un angle o quan es coneixen dos angles i un costat.

Demostració Per a demostrar el teorema de la tangent es pot començar amb el teorema del sinus:

${\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}.$

Anomenant q al resultat d'aquest quocient, es té $\scriptstyle {a\,=\,q\sin \alpha }$, $\scriptstyle {b\,=\,q\sin \beta }$, per tant

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {q\sin \alpha -q\sin \beta }{q\sin \alpha +q\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.$

Fent servir la fórmula de Simpson

$\sin(x)+\sin(y)=2\sin \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)\;$

amb $\scriptstyle {x\,=\,\alpha }$ i $\scriptstyle {y\,=\,\pm \beta }$ s'obté

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{2\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}}={{\tan {\alpha -\beta \over 2}} \over {\tan {\alpha +\beta \over 2}}}.$

Resolució d'un triangle qualsevol

Cas (què es coneix)	Esquema	Descripció del procés	Fórmules
Els tres costats		Els angles es dedueixen a partir del teorema del cosinus	$\alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)$ $\beta =\arccos \left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}\right)$ $\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)$
Un angle i els dos costats adjacents		L'últim costat s'obté gràcies al teorema del cosinus, els dos angles que manquen pel teorema de la tangent i el complement a π	$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}$ $\alpha ={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\gamma }{2}}+\arctan \left({\frac {a-b}{a+b}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)$ $\beta ={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\gamma }{2}}-\arctan \left({\frac {a-b}{a+b}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)$
Un angle, el costat oposat i un costat adjacent		El segon angle γ s'obté pel teorema del sinus, l'últim angle α per complement a π i l'últim costat pel teorema del sinus La resolució no és possible per a qualsevol conjunt de dades, perquè hi hagi solució cal que es compleixi la següent condició: $b>c\sin \beta \,$.	$\gamma =\arcsin \left({\frac {c\sin \beta }{b}}\right)$ $\alpha =\pi -\beta -\arcsin \left({\frac {c\sin \beta }{b}}\right)$ $a={\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}+c\cos \beta$
Un angle, el costat oposat i un costat adjacent Si β és agut i b < c, A demés de la solució anterior		En aquest cas hi ha un altre triangle que també compleix les dades del problema	$\gamma =\pi -\arcsin \left({\frac {c\sin \beta }{b}}\right)$ $\alpha =-\beta +\arcsin \left({\frac {c\sin \beta }{b}}\right)$ $a=c\cos \beta -{\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}$
Dos angles i el costat comú		L'últim angle s'obté per complement a π i els altres dos costats pel teorema del sinus	$a={\frac {c\sin \alpha }{\sin(\alpha +\beta )}}$ $b={\frac {c\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}$ $\gamma =\pi -\alpha -\beta \,$
Dos angles i un costat no comú		L'últim angle s'obté per complement a π i els altres dos costats pel teorema del sinus	$b={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}$ $c={\frac {a\sin(\alpha +\beta )}{\sin \alpha }}$ $\gamma =\pi -\alpha -\beta \,$