Matemàtiques (nivell ESO)/Sistemes d'equacions

Un sistema d'equacions és un conjunt de dues o més equacions. Les equacions s'escriuen una sobre l'altra amb una clau que les engloba. Per exemple,

${\begin{cases}x-y=10\\2y=x\end{cases}}$

El sistema anterior podria sorgir de la situació següent:

Determina les edats de dos germans ($x$ i $y$) si sabem que es porten 10 anys ($x-y=10$) i
que el major té el doble d'anys que el menor ($2y=x$).

Les variables que apareixen a les equacions del sistema també s'anomenen incògnites. I el sistema de l'exemple té dues incògnites: la $x$ i la $y$. Els sistemes d'equacions poden tenir un nombre d'incògnites arbitrari.

S'entén per solució d'un sistema una sèrie de valors per a cada de les incògnites, de manera que complesquin totes les equacions del sistema. Seguint l'exemple, $x=20$ i $y=10$ constitueixen juntes una solució del sistema, ja que:

• Els dos valors junts compleixen la primera equació

  $x-y=10$ -> $20-10=10$

• Però també els dos valors junts compleixen la segona equació

  $2y=x$ -> $2*10=20$

Resoldre un sistema vol dir trobar les seves solucions. Discutir un sistema és determinar quantes solucions té (una, cap, infinites, etc). Està clar que si es resol un sistema, també es pot discutir. No obstant, per discutir un sistema moltes vegades no cal arribar a resoldre'l.

Sistemes lineals

En principi els sistemes poden estar formats per qualssevol tipus d'equacions. Ara bé, ens interessen uns sistemes molt específics, els anomenats sistemes lineals.

Aquests sistemes reben aquest qualificatiu perquè totes i cada una de les equacions són lineals, és a dir, cada equació es pot escriure com la suma de lletres multiplicades per nombres positius o negatius.

Avançament de continguts

Hi ha sistemes d'equacions que poden semblar molt diferents perquè cada una de les expressions que el formen estan escrits de manera completament diferent i no obstant tenir exactament les mateixes solucions. Són el que s'anomena sistemes equivalents.

Hauries de saber que, igual que les equacions poden tenir una solució, cap o més d'una, també els sistemes d'equacions manifesten aquesta propietat. Fes un cop d'ull al nombre de solucions d'un sistema.

La solució d'un sistema d'equacions té unes interpretacions a molts àmbits de la vida real. Esbrina tu mateix què és resoldre un sistema.

La solució d'un sistema d'equacions lineals té una interpretació gràfica en termes de rectes que poden ser secants, paral·leles o coincidents. Esbrina-ho tu mateix a la solució gràfica d'un sistema.

Hi ha bàsicament tres maneres de resoldre un sistema d'equacions lineals, totes elles basades en la manipulació algebraica. Són els següents:

• Metòde de substitució
• Mètode d'igualació
• Mètode de reducció

Tots tres mètodes es basen a convertir dues equacions amb dues incògnites en una sola equació, possiblement més llarga, amb una sola incògnita.

Si vols anar més ràpid per resoldre els sistemes d'equacions, has de saber que hi ha les regles pràctiques per resoldre sistemes lineals.

Recursos

• Quaderns de matemàtiques
• Un examen resolt de sistemes lineals
• Definició de sistema d'equacions lineals
• Examen resolt model A
• Examen resolt model B